別在int與float上栽跟頭

int與float是我們每天程式設計都用的兩種型別，但是我們真的足夠了解它們嗎。昨天在部落格園看到一個比較老的笑話: “昨天晚上下班回家，一民警迎面巡邏而來。突然對我大喊：站住！民警：int 型別佔幾個位元組？  我：4 個。  民警：你可以走了。  我：為什麼問這樣的問題？ 民警：深夜還在街上走，寒酸苦逼的樣子，不是小偷就是程式設計師。”（注：看到有朋友評論說佔幾個位元組跟具體的環境有關，學過C++的都知道，在C++這樣的語言中確實取決於環境，但是在Java跟C#中不管什麼環境都規定是4個位元組，所以後邊我們只討論4個位元組的情況）

        看完這個笑話，我腦袋立馬將float、double等型別的位元組長度閃了個遍。我知道float也佔4個位元組，但儲存結構跟int是不一樣的，並且表示範圍也不一樣。緊接著就出現了一個疑問，到底哪些int值是float不能表示的呢？如果你回答不了這個問題，那還是好好地瞭解一下吧，如果我說的不夠清楚，請多查點其他的資料看一下。

       為什麼有些int是float表示不了的呢？因為int與float同樣佔4個位元組，float表示的範圍又比int大並且還包含很多小數，那int的每個值都能被float表示就是不可能的事情了。在平時的程式設計中好像也沒有感覺什麼不對呀，這是為什麼呢？先把這個問題留到後邊，原理說清楚了再來回答這個問題。在文章的下邊帖了一個進位制轉換程式，方便大家使用。

小數十進位制與二進位制的轉換

二進位制轉換成十進位制：跟整數轉換一個原理，例如二進位制11.11轉換為十進位制 1*2^1+1*2^0+1*2^(-1)+1*2^(-2)=3.75。

        十進位制轉換成二進位制：整數部分不用說了，跟整數的十進位制轉成二進位制沒有區別。小數部分採用乘2取整的方式，比如3.75整數部分對應的二進位制是11。小數部分0.75，先乘以2等於1.5，取1.5的整數部分1。再用0.5（上次乘2的結果的小數部分）乘以2等於1.0，取1.0的整數部分1，現在已經沒有小數部分了，終止。0.75對應的二進位制就是.11。

        所以3.75對應的二進位制是11.11。注意這裡的3.75和1.11只是浮點數十進位制與二進位制的不同表示形式，儲存結構是一樣的，因為本來就是同一個數。記憶體結構又是怎麼樣的呢，下邊介紹。   二. float的儲存結構   float也是佔32位，第一位是符號位（sign），符號位後邊8位是指數（exponent），最後23位是尾數（mantissa）。

        float值的二進位制表示形式是：sign* mantissa* 2^exponent。注意這個表示式是對應上述儲存結構的二進位制。

        符號位，表述浮點數的正或者負，0代表正，1代表負。

        指數位，實際也是有正負的，但是沒有單獨的符號位，在計算機的世界裡，進位都是二進位制的，指數表示的也是2的N次冪，8位指數表達的範圍是0到255，而對應的實際的指數是－127到128。也就是說實際的指數等於指數位表示的數值減127。這裡特殊說明，－127和＋128這兩個指數數值在IEEE當中是保留的用作多種用途的，這裡就不多做介紹了，有興趣的可以查閱其他資料。

        尾數位，只代表了二進位制的小數點後的部分，小數點前的那位被省略了，當指數位全部為0時省略的是0否則省略的是1，為什麼呢，看個例子：

        二進位制11.11表示成指數形式是1.111*2^1，0.1111表示成指數形式是1.111*2^(-1)。由此可見，正常情況下二進位制的指數形式是肯定有一個1的，所以儲存的時候直接省略。但是在指數位全部為0時，指數是-127，這個數字是有特殊含義的，在尾數全部為0時代表的數值是0，省略的那位是0，如果省略的是1那麼0這個數字就沒法用float表示了。

結合例子理解一下

那我們就看一下3.75的記憶體結構到底是什麼樣子的。首先轉化成二進位制形式11.11。轉化成二進位制指數形式1.111*21。由此我們可以得知尾數部分是111（將1省略掉了），不足23位的後邊補0，指數部分是1+127=128，對應二進位制10000000。所以儲存結構就是01000000011100000000000000000000。

        反過來轉換一下，比如某個float的儲存結構是01000000011100000000000000000000，符號位是正的，指數位是128，實際的指數是128-127=1，尾數是111，再加上省略的那位就是1.111。所以對應的二進位制指數形式是1.111*2^1，對應的二進位制是11.11，對應的十進位制是3.75。

        到這裡我們就可以看出，實際上尾數決定了浮點數的精度，尾數只有23位，加上省略的那位就是24位。如果一個int型別的值小於224，那麼float是完全可以表示的。如果int型別大於224就不一定能表示了。假如一個int數值的二進位制表示形式是100000000000000000000000，表示成指數形式是1.00000000000000000000000*2^23，對應的float的型別，尾數位全部為0，指數位是23+127=150，這樣完全沒有問題。假如一個int數值的二進位制表示形式是1000000000000000000000001，表示成指數形式是1.000000000000000000000001*2^24，對應的float的型別尾數位是000000000000000000000001一共24位，這樣就完全超出了float最多容納23位尾數的能力。所以就不能正確表達這個int值了。由此也可以得出不能被float準確表達的最小int值是2^24+1。我們再將1000000000000000000000001的值加1，變成了1000000000000000000000010，這樣變換為指數形式可以看出尾數又變為了23位，也就是說25位的二進位制整數最後一位是0才能被float準確表示，每2個數就有一個不能被準確表示。如果是26位的二進位制整數最後兩位都是0才可以被float準確表達，每4個數就有3個不能被準確表示，以此類推。

        現在再來回答為什麼在程式設計的過程中似乎沒怎麼引起注意，這是因為，我們平時用的數值基本都小於224+1=16777217。

java中的float和double的精度問題

1、背景知識
在java中沒有細講，只是講了float佔32位（bit），double佔 64位。 
對於計算機來說，用位數表示是合適的。但有人喜歡用位元組(byte)表示。一個位元組佔8位。 
1 byte = 8 bit. 
所以float佔4個位元組，double佔8個位元組。 
不過我還是喜歡用位數表示。這樣更直接，也更容易理解計算機是怎麼儲存這些型別的。 

對於精度和範圍，還是參考一下c++吧。 


2、儲存知識
計算器儲存浮點數的方法：（用科學計數法儲存） 
將要存的數先轉換為小數（0.xxxxxx）x10的n次冪的形式進行儲存。 
例如： 
3.1415 將被轉換為：0.31415 x 10^1 
100000 將被轉換為：0.1 x 10^6 

首先申明一點，先範圍（有效數字位，包括整數位和小數位），再精度。 


3、下面切入正題
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在c++中單精度float型別與雙精度double型別的問題 

【"單精度用float表示，在計算機中使用4位位元組（32位bit）來表示，具有7位有效數字"】 

float型別儲存的時候1個bit是符號位，8個bit是指數位，剩下的23個bit是有效數字位。 
2的23次方是8388608，即7位有效數字，精度（10進位制）。 

一個單精度的浮點數在記憶體當中佔用了32個bit位，按照浮點數的表示標準，最高位表示符號，這32位一部分用來表示階碼，一部分用來表示小數部分。 
按照這個表示方法轉化成10進位制之後，它能表示的最高精度是7位有效數字。

比如 
float a=3.14159;a在記憶體中實際上表示為0.314159乘以10的1次方（0是符號位），而分配給a的儲存單元就分為兩部分，一部分存0.314159，一部分存指數1，而且也都是轉化為2進位制來存。 

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float ，1位符號位， 8位指數位，23位尾數位 
double，1位符號位，11位指數位，52位尾數位 

float尾數位23位，2^23=8.3E6，7位，所以不同的編譯器規定不同，有些是7位，有些8位 
double尾數52位，2^52=4.5E15，15位，所以double的有效位數是15位 

後記： 
數一下有效數字位數（整數位+小數位），7位以內的用float，15位以內的用double 
但是還有一點小小的區別： 
float f =  (float) 62345678.912345;  // => 6.234568E7  共 7 位 
float f2 =  (float) 12345678.912345; // => 1.2345679E7 共 8 位 

(精度問題，float精度為7--8位，8位的情況是第一位是1，當是2時進位後面的精度丟失?)