動量守恆與能量守恆相矛盾嗎？

阿新 • • 發佈：2019-01-18

證明末動能小於初動能：

牛頓定律 $\mathbf{F }_{i }=m \mathbf{a }_{i }=m _{i }\frac{\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, }{\, \mathrm{d } \, t \, }$ ，Fi是第i個物體受的合力

$\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,$

$\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\cdot \dot{\mathbf{r }}_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, =m _{i }\dot{\mathbf{r }}_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,$

$\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, =\, \mathrm{d } \left( \frac{1 }{2 }m _{i }{\dot{\mathbf{r }}_{i }}^{2 }\right) \,$

咱們用T表動能

$\Rightarrow \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \left( \frac{1 }{2 }m _{i }{\dot{\mathbf{r }}_{i }}^{2 }\right) \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, T _{i } \, \;$

而 $\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }} \cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; +\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \;$ i表內，e表外

$=\, \mathrm{d } \, W _{外 } \, +\, \mathrm{d } \, W _{內 } \,$

$\Rightarrow \, \mathrm{d } \, W _{外 } \, +\, \mathrm{d } \, W _{內 } \, =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, T _{i } \, \;$

積個分

$\Rightarrow W _{外 }+W _{內 }=\sum _{i }\Delta T _{i }\;$ 這是動能定理

如果非彈性碰撞的話，物體在受擠壓力的時候向內凹陷，一定有內力負功，還有很少摩擦力，按物理語言，這些功轉成了熱

$W _{外 }+W _{內 }=-Q < 0$

所以動能關係

${\left( \sum _{i }T _{i }\; \right) }_{末 }< {\left( \sum _{i }T _{i }\; \right) }_{初 }$

動量守恆：

$\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,$

$\Rightarrow \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \;$

$\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }}\, \mathrm{d } \, t \, \; +\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \, \mathrm{d } \, t \, \;$