題目描述

如何得到一個數據流中的中位數？如果從資料流中讀出奇數個數值，那麼中位數就是所有數值排序之後位於中間的數值。如果從資料流中讀出偶數個數值，那麼中位數就是所有數值排序之後中間兩個數的平均值。我們使用Insert()方法讀取資料流，使用GetMedian()方法獲取當前讀取資料的中位數。

作者用到的方法非常巧妙，注意到我們只需要位於中間的兩個數就可以得出中位數，當元素個數為奇數個時可以看成這兩個數一樣。中位數在前半部分它是最大的，右半部分是最小的。我們只要始終知道前半部分數裡的最大的那個數，後半部分裡那個最小的數就可以了，其他的不用關心。這明顯是堆的功用，前半部分用一個最大堆，後半部分建一個最小堆。中位數要保持兩個堆的數目之差不超過1.為了實現平均分配，可以在資料的總數目是偶數時把新資料插入到最小堆中，否則插入最大堆中。

    另一個問題是保持最大堆的所有資料都小於最小堆中的資料。如果插入一個數使得總數目和為偶數，根據之前的原則應該插入最小堆中，但是新插入的元素可能比最大堆中的元素小怎麼辦？這就違反了最小堆的資料一定大於最大堆得原則。實際上這裡插入的元素應該是新元素和最大堆中所有元素的最大值，最大堆正好有返回一個最大值的作用，所以新插入的元素先插入最大堆，然後取出最大值再插入最小堆中。如果插入元素使得資料總數目和為奇數，處理方法類似。

class Solution {
private:
     vector<int> min; //陣列中的後一半元素組成一個最小化堆
     vector<int> max; //陣列中的前一半元素組成一個最大化堆
public:
     void Insert(int num) {
         if(((min.size()+max.size()) & 1) == 0) {  //偶數資料的情況下，則在最小堆中插入元素
             if(max.size() > 0 && num < max[0]) {
                 max.push_back(num);
                 push_heap(max.begin(), max.end(), less<int>());
                 num=max[0];
                 pop_heap(max.begin(), max.end(), less<int>());
                 max.pop_back();
             }
             min.push_back(num); //把前一半找到的最大值放到後一半中
             push_heap(min.begin(), min.end(), greater<int>());
         } else {
             if(min.size() > 0 && num > min[0]) {   //奇數資料的情況下，則在最大堆中插入元素
                 min.push_back(num);
                 push_heap(min.begin(), min.end(), greater<int>());
                 num=min[0];
                 pop_heap(min.begin(), min.end(), greater<int>());
                 min.pop_back(); 
             }
             max.push_back(num); //把後一半找到的最大值放到前一半中
             push_heap(max.begin(), max.end(), less<int>());
         }
     }

     double GetMedian() { 
         int size=min.size() + max.size();
         if(size==0) return -1;
         double median = 0;
         if((size&1) != 0) {
             median = (double) min[0];
         } else {
             median = (double) (max[0] + min[0]) / 2;
         }
         return median;
     }
 };
 

更簡潔的寫法：

class Solution {
    priority_queue<int, vector<int>, less<int> > p;
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;
     
public:
    void Insert(int num){
        if(p.empty() || num <= p.top()) p.push(num);
        else q.push(num);
        if(p.size() == q.size() + 2) q.push(p.top()), p.pop();
        if(p.size() + 1 == q.size()) p.push(q.top()), q.pop();
    }
    double GetMedian(){ 
      return p.size() == q.size() ? (p.top() + q.top()) / 2.0 : p.top();
    }
};