Project euler 401 約數的平方和 (數論)

阿新 • • 發佈：2019-01-19

題意：

約數的平方和

6的約數有1、2、3和6。
這些數的平方和是1+4+9+36=50。

我們記sigma2(n)是n的所有約數的平方和。因此sigma2(6)=50.

我們記SIGMA2是sigma2的和函式，也就是說SIGMA2(n)=∑sigma2(i)，其中i=1~n。
SIGMA2的前6項為：1、6、16、37、63和113。

求SIGMA2(1015)模109取餘的值。

題解：

$\sum_{k=1}^n k^2 \lfloor \frac{n}{k} \rfloor = \sum_{k=1}^{\frac{n}{(\lfloor \sqrt n \rfloor + 1)} } k^2 \lfloor \frac{n}{k} \rfloor + \sum_{d=1}^{\lfloor \sqrt n \rfloor} d \left( \sum_{\lfloor \frac{n}{(d+1))} \rfloor < k \leq \lfloor \frac{n}{d} \rfloor} k^2 \right)$

$\sum_{\lfloor \frac{n}{d+1} \rfloor < k \leq \lfloor \frac{n}{d} \rfloor} k^2 = f(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) - f(\lfloor \frac{n}{d+1}\rfloor)$

其中， $f(n) = \frac16 n (n + 1) (2n + 1)$ 。

Project euler 401 約數的平方和 (數論)

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