在北京、上海這樣的一線城市，地鐵絕對是上班族的首選交通工具，儘管有時擠得要命，但你真的找不出比地鐵更準點的交通工具了。平時出門，我也總是習慣於在百度地圖或丁丁地圖裡先查詢一下地鐵乘車路線，這些程式用起來非常方便。最近幾天終於有點空餘時間了，我就在想，我是否也可以寫一個這樣的程式？作為一名專業碼農，我決定立刻動手。

    首先，我給地鐵線路圖程式MetroGraphApp設定了幾個關鍵目標：

    1、  操作介面模仿百度地圖，可以直接線上路圖上設定起點和終點。

    2、  路徑查詢演算法不能太慢，絕大多數情況下，必須小於1秒。

    3、  線路圖資料必須是可配置的，適用於各個城市的地鐵。

    在介紹實現方法之前，先看一下最終的效果圖：                       

圖 1

圖 2

【技術準備】

    MetroGraphApp是一個.NET WinForm程式，開發工具是VS2010，開發語言是C#，繪圖功能基於GDI+。線路圖資料儲存在一個XML檔案中。查詢路線時採用的是資料結構中的最短路徑法。

【總體設計】

    地鐵線路構成了資料結構中的圖（Graph），站點是節點（Node），站點之間的通行路徑就是連結（Link），也就是邊（Edge）。由於所有通行路徑都是雙向的，所以，這是一個無向圖。在圖中任選兩點，兩點之間的連續路徑（Path）就是我們要查詢的乘車路線。

圖 3

    在實際的地鐵線路中，每條Link都屬於一條線路（Line），例如：1號線、2號線，等等。兩個站點之間可能有兩條Link，它們分別屬於不同的Line，這就是“雙線並軌”。例如，在上海地鐵線路中，“寶山路”到“宜山路”這段路徑，“3號線”和“4號線”是在同一條軌道上執行的。如果是雙線並軌，繪圖的時候要並行繪製在一起。考慮到實用性和複雜性，我們在這裡忽略多線並軌的情況。

整體類設計如下圖所示：

圖 4

    MetroGraphView類是一個自定義的UserControl，用於繪製MetroGraph所表示的地鐵線路圖。預設情況下是沒有任何資料的，所需的線路資料是通過LoadFromFile來裝載的，該方法可以從指定的XML檔案中讀取資料。

    在MetroGraphView控制元件上，使用者可以通過滑鼠點選的方式，選擇起點和終點，然後控制元件會自動呼叫FindPath方法，獲取兩點之間的乘車路線（MetroPath），並將其繪製出來。

【原始碼實現】

MetroGraph、MetroNode、MetroLink、MetroLine、MetroPath類的實現都非常簡單，這裡不做過多解釋，感興趣的同學可以在文章末尾處下載原始碼。

接下來，我們將重點介紹兩個關鍵功能的實現：

1、  如何繪製線路圖？

2、  如何查詢乘車路線？

【如何繪製線路圖】

地鐵線路圖的繪製可以分解為兩個部分：節點繪製和連結繪製。

/// <summary>
/// 繪製地鐵線路圖。
/// </summary>
/// <param name="g">繪圖圖面。</param>
/// <param name="graph">地鐵線路圖。</param>
private void PaintGraph(Graphics g, MetroGraph graph)
{
    //繪製地鐵路徑
    foreach (var link in graph.Links.Where(c => c.Flag >= 0))
         PaintLink(g, link);

    //繪製地鐵站點
    foreach (var node in graph.Nodes)
        PaintNode(g, node);
}

    細心的讀者會發現，繪製Link的時候，有一個c.Flag>=0的篩選條件，這個Flag是幹什麼的呢？我來解釋一下。

    由於地鐵的行車路徑都是雙向的，所以，我們在構造MetroGraph的時候，兩個Node之間的Link一定是成對出現的，這兩條Link的方向是相反的。但是在繪圖的時候，我們只需要繪製其中的一條即可。這裡就有一個邏輯問題，當繪製一條Link的時候，如何判斷其反向Link已經繪製過了？我用了一個最簡單的辦法，直接在Link上放一個標誌Flag，如果Flag=0，則繪製，如果Flag=-1，則不繪製。這個Flag是在構造XML資料的時候直接填進去的。

    此外，Flag還有另外一個重要用途。文章前面提到過“雙線並軌”的問題，例如圖3中的A、B兩個節點，他們之間存在Line3和Line4並軌的現象。對於並軌的兩條Link，我們需要將其畫成兩條平行線，這兩條線可能是水平線、垂直線，也可能是斜線。線之間沒有空隙。如下圖所示：

圖 5

    如何繪製這樣兩條平行線呢？辦法很簡單，只要將線段分別向兩邊移動一定距離即可（Flag的值可以控制移動方向）。假如Link的寬度是5px，那麼移動的距離應該是 2.5px，由於DrawLine時用的Pen預設是居中對齊的，這樣就可以畫出沒有間隙的兩條平行線。程式碼如下：

/// <summary>
/// 繪製地鐵站點間的線路。
/// </summary>
/// <param name="g">繪圖圖面。</param>
/// <param name="link">地鐵站點間的線路。</param>
private void PaintLink(Graphics g, MetroLink link)
{
    Point pt1 = new Point(link.From.X, link.From.Y);
    Point pt2 = new Point(link.To.X, link.To.Y);

    using (Pen pen = new Pen(link.Line.Color, 5))
    {
        pen.LineJoin = LineJoin.Round;
        if (link.Flag == 0)
        {//單線
            g.DrawLine(pen, pt1, pt2);
        }
        else if (link.Flag > 0)
        {//雙線並軌（如果是同向，則Flag分別為1和2，否則都為1）
            float scale = (pen.Width / 2) / Distance(pt1, pt2);

            float angle = (float)(Math.PI / 2);
            if (link.Flag == 2) angle *= -1;

            //平移線段
            var pt3 = Rotate(pt2, pt1, angle, scale);
            var pt4 = Rotate(pt1, pt2, -angle, scale);

            g.DrawLine(pen, pt3, pt4);
        }
    }
}

    節點的繪製就要簡單多了。節點由圓圈和標籤構成，圓圈在上，標籤在下。標籤的位置，是個值得改進的問題，因為標籤可能會把Link線條給蓋住。在本程式中，我認為影響不是很大，所以，我把標籤統一放在圓圈的下方。

    此外，對於可以換乘不同Line的站點，我們需要把圓圈畫得大一些，這樣更醒目。程式碼如下：

/// <summary>
/// 繪製地鐵站點。
/// </summary>
/// <param name="g">繪圖圖面。</param>
/// <param name="node">地鐵站點。</param>
private void PaintNode(Graphics g, MetroNode node)
{
    //繪製站點圓圈
    Color color = node.Links.Count > 2 ? Color.Black : node.Links[0].Line.Color;
    var rect = GetNodeRect(node);
    g.FillEllipse(Brushes.White, rect);
    using (Pen pen = new Pen(color))
    {
        g.DrawEllipse(pen, rect);
    }

    //繪製站點名稱
    var sz = g.MeasureString(node.Name, this.Font).ToSize();
    Point pt = new Point(node.X - sz.Width / 2, node.Y + (rect.Height >> 1) + 4);
    g.DrawString(node.Name, Font, Brushes.Black, pt);
}

【如何查詢乘車路線】

    這是圖論中典型的路徑搜尋問題。當我處理這個問題的時候，我首先想到並實現的是最短路徑法。最短路徑法具有很強的現實意義，它表明路線比較節省時間。判斷時間長短的辦法由兩個：一是通過累加Link上的權重（Weight）來判斷，二是通過Link數量來判斷。本文程式採用的是後者，因為根據實際經驗，各個站點之間的執行時間是差不多的，以上海地鐵為例，平均時間是大概3分鐘一站。當然，我們沒有考慮換乘的時間。程式碼如下：

/// <summary>
/// 查詢指定兩個節點之間的最短路徑。
/// </summary>
/// <param name="startNode">開始節點。</param>
/// <param name="endNode">結束節點。</param>
/// <param name="line">目標線路（為null表示不限制線路）。</param>
/// <returns>乘車路線列表。</returns>
private List<MetroPath> FindShortestPaths(MetroNode startNode, MetroNode endNode, MetroLine line)
{
    List<MetroPath> pathtList = new List<MetroPath>();
    if (startNode == endNode) return pathtList;

    //路徑佇列，用於遍歷路徑
    Queue<MetroPath> pathQueue = new Queue<MetroPath>();
    pathQueue.Enqueue(new MetroPath());

    while (pathQueue.Count > 0)
    {
        var path = pathQueue.Dequeue();

        //如果已經超過最短路徑，則直接返回
        if (pathtList.Count > 0 && path.Links.Count > pathtList[0].Links.Count)
            continue;

        //路徑的最後一個節點
        MetroNode prevNode = path.Links.Count > 0 ? path.Links[path.Links.Count - 1].From : null;
        MetroNode lastNode = path.Links.Count > 0 ? path.Links[path.Links.Count - 1].To : startNode;

        //繼續尋找後續節點
        foreach (var link in lastNode.Links.Where(c => c.To != prevNode && (line == null || c.Line == line)))
        {
            if (link.To == endNode)
            {
                MetroPath newPath = path.Append(link);
                if (pathtList.Count == 0 || newPath.Links.Count == pathtList[0].Links.Count)
                {//找到一條路徑
                    pathtList.Add(newPath);
                }
                else if (newPath.Links.Count < pathtList[0].Links.Count)
                {//找到一條更短的路徑
                    pathtList.Clear();
                    pathtList.Add(newPath);
                }
                else break;//更長的路徑沒有意義
            }
            else if (!path.ContainsNode(link.To))
            {
                pathQueue.Enqueue(path.Append(link));
            }
        }
    }

    return pathtList;
}

    上述演算法在大多數情況下都執行得很好，但是存在兩個不足之處：

    1、“較少換乘”這個優先性沒有體現出來。程式給出的最短路徑，往往有換乘1站甚至2站，而事實上有一條直達路線，只是該路線因為站點較多，被程式過濾掉了。

    2、對於相距太遠的兩個節點，查詢時間可能很長，甚至達到1分鐘之久。

    為了解決上述問題，我對演算法進行了改進。

    首先，將直達路線的優先順序設定為最高。就是說，如果兩個站點之間有直達路線，就不要選擇那些需要換乘的路線。

    其次，經過抽樣統計，我發現直達或換乘一次就能到達目的地的概率高達80%，我相信地鐵建設人員在設計的時候就已經考慮過這個問題了。既然這樣，我可以對換乘一次的路線進行優先查詢。假設起點是A，終點是B，它們的換乘點是C，那麼，我可以先查出A->C的直達路線，再查出C->B的直達路線，然後將兩條路線合併即可，這樣可以顯著降低時間複雜度。

    改進後代碼如下：

/// <summary>
/// 查詢乘車路線。
/// </summary>
/// <param name="startNode">起點。</param>
/// <param name="endNode">終點。</param>
/// <returns>乘車路線。</returns>
public MetroPath FindPath(MetroNode startNode, MetroNode endNode)
{
    MetroPath path = new MetroPath();
    if (startNode == null || endNode == null) return path;
    if (startNode == endNode) return path;

    //如果起點和終點擁有共同線路，則查詢直達路線
    path = FindDirectPath(startNode, endNode);
    if (path.Links.Count > 0) return path;

    //如果起點和終點擁有一個共同的換乘站點，則查詢一次換乘路線
    path = FindOneTransferPath(startNode, endNode);
    if (path.Links.Count > 0) return path;

    //查詢路徑最短的乘車路線
    var pathList = FindShortestPaths(startNode, endNode, null);

    //查詢換乘次數最少的一條路線
    int minTransfers = int.MaxValue;
    foreach (var item in pathList)
    {
        var curTransfers = item.Transfers;
        if (curTransfers < minTransfers)
        {
            minTransfers = curTransfers;
            path = item;
        }
    }
    return path;
}

/// <summary>
/// 查詢直達路線。
/// </summary>
/// <param name="startNode">開始節點。</param>
/// <param name="endNode">結束節點。</param>
/// <returns>乘車路線。</returns>
private MetroPath FindDirectPath(MetroNode startNode, MetroNode endNode)
{
    MetroPath path = new MetroPath();

    var startLines = startNode.Links.Select(c => c.Line).Distinct().ToList();
    var endLines = endNode.Links.Select(c => c.Line).Distinct().ToList();

    var lines = startLines.Where(c => endLines.Contains(c)).ToList();
    if (lines.Count == 0) return path;

    //查詢直達路線
    List<MetroPath> pathList = new List<MetroPath>();
    foreach (var line in lines)
    {
        pathList.AddRange(FindShortestPaths(startNode, endNode, line));
    }

    //挑選最短路線
    return GetShortestPath(pathList);
}

/// <summary>
/// 查詢一次中轉的路線。
/// </summary>
/// <param name="startNode">開始節點。</param>
/// <param name="endNode">結束節點。</param>
/// <returns>乘車路線。</returns>
private MetroPath FindOneTransferPath(MetroNode startNode, MetroNode endNode)
{
    List<MetroPath> pathList = new List<MetroPath>();

    foreach (var startLine in startNode.Links.Select(c => c.Line).Distinct())
    {
        foreach (var endLine in endNode.Links.Select(c => c.Line).Where(c=> c != startLine).Distinct())
        {
            //兩條線路的中轉站
            foreach (var transferNode in this.Graph.GetTransferNodes(startLine, endLine))
            {
                //起點到中轉站的直達路線
                var startDirectPathList = FindShortestPaths(startNode, transferNode, startLine);

                //中轉站到終點的直達路線
                var endDirectPathList = FindShortestPaths(transferNode, endNode, endLine);

                //合併兩條直達路線
                foreach (var startDirectPath in startDirectPathList)
                {
                    foreach (var endDirectPath in endDirectPathList)
                    {
                        var directPath = startDirectPath.Merge(endDirectPath);
                        pathList.Add(directPath);
                    }
                }
            }
        }
    }

    //挑選最短路線
    return GetShortestPath(pathList);
}

【總結】

    MetroGraphApp程式主要是應用了圖論和GDI+的知識。最大的難點在於，如何更快地找出符合使用者需要的乘車路線。

    傳統的深度遍歷方法不能很好地解決我們的問題，我們需要在遍歷之前，對前方的路徑進行一次偵測，然後把那些不需要的路徑全部“剪除”掉，這樣就可以顯著提高效能。

    當然本文的演算法並不能保證任意兩點之間的路徑，都能夠在1秒之內找出，有些複雜的路徑搜尋還是會長達幾十秒，只是這樣的概率非常低。如果讀者感興趣，可以進一步研究改進。 

原始碼下載（解壓縮密碼是：cnblogs）。

1、對於本文描述的演算法，以及提供的原始碼，保留所有權利。

2、本文的原始碼只是供大家學習、研究之用，不得用於商業目的。

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4、介面上的“起點”和“終點”兩個圖示，來源於網路，版本歸原作者所有。