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分數化小數

題目描述

對於一個分數（不一定是最簡形式），給出它的小數形式，如果小數有迴圈節的話，把迴圈節放在一對圓括號中.
例如，1/4 =0.25,1/3=0.3333寫成0.(3)，1/7= 0.142857142857...寫成0.(142857)。如果結果是一種整數xxx，則用xxx.0 等表示整數xxx。
輸入包括一行，包括被空格分隔開的分子N和分母D（第一個是N，第二個是D）。
輸出包括一行，為轉換後的小數形式。

輸入樣例

45 56

輸出樣例

0.803(571428)

題目解釋

題目中需要求一個 分數 的小數，如果是無限迴圈小數，則輸出 0.xxx(xxx) 的格式。
因此我們考慮，先求出這個小數的 迴圈起始點(S)

我們舉個栗子。對於 $x = \frac{45}{56}$ 這種情況。
我們考慮先對 $x * 10$ 即： $\frac{45}{56},\frac{450}{56},\frac{4500}{56},\frac{45000}{56}\cdots$
然後我們將這些分數的分子進行 $mod\ 56$ 操作， 即：$\frac{45}{56},\frac{2}{56},\frac{20}{56},\frac{32}{56},\frac{40}{56},\frac{8}{56},\frac{24}{56},\frac{16}{56},\frac{48}{56},\frac{32}{56},\frac{40}{56}\cdots$

由此我們可以推廣到更一般的情況。假設分數為 $\frac{p}{q}$ ，由於小數部分和整數無關，因此我們可以假設這個分數為真分數。不妨假設$p<q$。

由上可知，我們可以把第 $k + 1$ 個分數寫成$\frac{p*10^k\ mod\ q}{q}$

接下來需要求迴圈節 $T = j - i$。

設 $q'' = \frac{q'}{2^n*5^m}$
經過一番計算，上式 $q'|10^i(10^{j - i} - 1)$ 已經變成了$q'|2^n5^m(10^{j - i} - 1)*\frac{10^i}{2^n5^m}$
即$q''|(10^{j - i} - 1)*\frac{10^i}{2^n5^m}$