• （1）一個對角元素都是1的下三角矩陣，稱為單位下三角矩陣。

• （2）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；

• （3）一般來說，矩陣的三角分解不唯一。

• （4）實對稱正定矩陣 A，Δk>0（k=1,2,⋯,n）

三角分解

如果方陣 A 可分解為一個下三角矩陣 L 和一個上三角矩陣 U 的乘積，則稱 A 可作三角分解或 LU(LR) 分解。如果 A 可分解成 A=LDU，其中 L 是單位下三角矩陣，D 是對角矩陣，U 是單位上三角矩陣，則稱 A 可做 LDU 分解。

設 A=(aij) 是 n 階矩陣，則當且僅當 A 的順序主子式 Δk≠0（k=1,2,⋯,n−1，為什麼要求到 n

−1，因為 ΔkΔk−1）時，A 可唯一地分解為 LDU，其中 L 為單位下三角矩陣，U 為單位上三角矩陣，D 是對角矩陣，

D=diag(d1,d2,⋯,dn)
其中，dk=ΔkΔk−1（k=1,2,⋯,n;Δ0=1）

Cholesky 分解（平方根分解）

當 A 為實對稱正定矩陣（樣本的協方差矩陣）時，Δk>0（k=1,2,⋯,n），有唯一的 LDU 分解，即：

A=LDU

其中 D=diag(d1,d2,⋯,dn)，且 di>0（i=1,2,⋯,n），令：

D~=diag(d1−−√,d2−−√,⋯,dn−−√)
於是有：
A=LD~2U
由 AT=A，得：
L

D~2U=UTD~2LT

再由分解的唯一性得：

L=UT,U=LT
因而有：
A=LD~2LT=LDLT
或者：
A=L

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