線段樹或樹狀陣列求逆序數

假設給你一個序列 6 1 2 7 3 4 8 5，  首先我們先手算逆序數， 設逆序數為 N;

6的前面沒有比他大的數 N +=0

1的前面有一個比他大的數 N+=1

2的前面有一個比他大的數 N+=1

7的前面沒有比他大的數 N+=0

... 最後得到 N = 0 + 1 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 = 9

其實我們可用用線段樹，或者樹狀陣列模擬這個過程。 又因為線段樹和樹狀陣列的效率較高，所以可行

假設我們將 序列 6 1 2 7 3 4 8 5 存入陣列num【】 中， num【1】=6 ， num【2】=1...

那麼每次，我們可以將 num【i】 插入到 線段樹或者樹狀陣列中，並賦值為 1，

 我們求和sum，sum等於線段樹中 1 到 num【i】的和 ， 那麼這個 sum 表示的值就是當前比num【i】小的數量（包括它本身）；

而當前一共有 i 個數 ， 所以 當前 比num【i】大的數量就是 i - sum；

所以 我們統計所有的 i - sum ， 它們的和就是逆序數。 模擬了上面手算的過程。

【線段樹的關鍵程式碼】

<pre name="code" class="cpp">int count=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
       Insert(1,num[i],num[i],1); //插入 num[i],並賦值1
       count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
}
 

【樹狀陣列的關鍵程式碼】

long long  ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	add(N[i].id);
	ans+=(i-Sum(N[i].id));
}

當然，這裡查詢的數 的 id 都是預設從 1 到 N 的，如果 題目要求輸入的數超過這個範圍，就需要用到離散化，

這個在後面的題目會介紹到。

【這裡先給一個求1~n的逆序數】

//線段樹 求逆序數
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) (a<<1)|1
const int maxn = 51000;
int ans[maxn];
struct node{
	int num,l,r;
}tree[maxn<<2];
int n;
void Build(int m,int l, int r){
	tree[m].l=l;
	tree[m].r=r;
	if(tree[m].l==tree[m].r){
		tree[m].num=0;
		return ;
	}
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	Build(L(m),l,mid);
	Build(R(m),mid+1,r); //並不要回溯， 建立空樹
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
	if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
		tree[m].num+=x; return ;
	}
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	if(r<=mid)
		Insert(L(m),l,r,x);
	else if(l>mid)
		Insert(R(m),l,r,x);
	else{
		Insert(L(m),l,mid,x);
		Insert(R(m),mid+1,r,x);
	}
	tree[m].num=tree[L(m)].num+tree[R(m)].num;
}
int Query(int m,int l,int r){
	if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r)
		return tree[m].num;
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	if(r<=mid)
		return Query(L(m),l,r);
	if(l>mid)
		return Query(R(m),l,r);
	return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
	int a,n,i,t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int k=0;
		scanf("%d",&n);
		memset(tree,0,sizeof(tree));
		Build(1,1,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&ans[i]);
		}			
		for(int i=1;i<=n;i++){
			Insert(1,ans[i],ans[i],1);// 每個位置插入1
			k+=(i - Query(1,1,ans[i]));
		}
		printf("%d\n",k);
	}
	return 0;
}

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) a<<1|1
using namespace std;
int n;
const int maxn = 5005;
int num[maxn];
struct node{
    int l,r,sum;
}tree[maxn<<2];
void Build(int m,int l,int r){
    tree[m].l=l; tree[m].r=r;
    if(tree[m].l==tree[m].r){ //如果當前節點的左右節點相同，即葉子節點
        tree[m].sum=0;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    Build(L(m),l,mid);
    Build(R(m),mid+1,r); 
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        tree[m].sum+=x;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    if(mid>=r) //這裡是大於等於
        Insert(L(m),l,r,x);
    else if(mid<l)
        Insert(R(m),l,r,x);
    else{
        Insert(L(m),l,mid,x);
        Insert(R(m),mid+1,r,x);
    }
    tree[m].sum=tree[L(m)].sum+tree[R(m)].sum;
}
int Query(int m,int l,int r){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        return tree[m].sum;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    //這裡和 Insert 一樣
    if(mid>=r)
        return Query(L(m),l,r);
    if(mid<l)
        return Query(R(m),l,r);
    return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
    
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        Build(1,1,n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&num[i]);
            num[i]++;
        }
        int count=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            Insert(1,num[i],num[i],1);
            count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
        }
        int ans = count;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            num[i]--;
            count = count - num[i]*2 + n -1;
            if(count<ans)
                ans = count;
        }
         printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

這個需要用到離散化，

建立一個結構體包含val和id， val就是輸入的數，id表示輸入的順序。然後按照val從小到大排序，如果val相等，那麼就按照id排序。

如果沒有逆序的話，肯定id是跟i（表示拍好後的順序）一直一樣的，如果有逆序數，那麼有的i和id是不一樣的。所以，利用樹狀陣列的特性，我們可以簡單的算出逆序數的個數。

如果還是不明白的話舉個例子。（輸入4個數）

輸入：9 -1 18 5

輸出 3.

輸入之後對應的結構體就會變成這樣

val：9 -1 18 5

id：  1  2  3  4

排好序之後就變成了

val ：  -1 5 9 18

id：      2 4  1  3

2 4 1 3 的逆序數 也是3

之後再利用樹狀陣列的特性就可以解決問題了；

因為數字可能有重複， 所以新增操作不再單純的置為1 ，而是 ++；

【原始碼】

 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n;
const int maxn = 1000005;
struct node{
	int val,id;
}N[maxn];
int c[maxn];
int cmp(const node &a,const node& b ){
	if(a.val==b.val)
		return a.id<b.id;
	return a.val<b.val;
}
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
void add(int x){
	while(x<=n){
		c[x]++; //可能有重複，因為用++ 不用 = 1；
		x+=lowbit(x);
	}
	return;
}
int Sum(int x){
	int ans = 0;
	while(x>0){
		ans+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&N[i].val);
			N[i].id=i;
		}
		sort(N+1,N+n+1,cmp);//從 1 - n 排序 
		memset(c,0,sizeof(c)); //不要忘記初始化
		long long  ans=0; //用 int  會爆掉
		for(int i=1;i<=n;i++){
			add(N[i].id);
			ans+=(i-Sum(N[i].id));
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}