從有限到無限，似乎是一個無法逾越的鴻溝，需要思維的跨越。

數學中引入極限概念，實現有限和無限的連線，而極限概念更聯絡著許多知名的悖論，如芝諾悖論，旅館悖論等等。可以說有限和無限的祕密，將是一個永恆的話題。

本章與極限雖無直接關係，但仍可據此浮想聯翩。

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一隻貓發現離它10步遠的前方有一隻老鼠在奔跑，便哈腰緊追。貓的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的動作頻率快，貓跑2步的時間，老鼠能跑3步。
請問：按照這種速度，貓能追得上老鼠嗎？如果能，它要跑多少步才能追到。

解答：

考慮時間頻率，9除以3乘以2=6步，也就是老鼠跑9步遠，貓就會跑6步遠，從路程上看，貓離老鼠就近了1（6-5）步，它們開始共相距10步遠，所以貓一共需要跑6*10=60步才能追上老鼠。

本問題轉自 數之理

引出一個經典的小故事：

馮諾依曼（von Neumann），著名的數學家、化學家、電腦科學家，開創了現代計算機理論，被譽為“現代電子計算機之父”。

von Neumann（馮諾依曼）曾經碰到別人問他一個估計中國小學生都很熟的問題，就是兩個人相向而行，中間有一隻狗跑來跑去，問兩個人相遇之後，狗走了多少路程。應該先求出相遇的時間，再乘狗的速度。如果沒有記錯的話，小時候聽說過蘇步青先生（蘇步青，中國科學院院士，數學家。中國傑出的數學家，被譽為數學王。主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究。他在仿射微分幾何學和射影微分幾何學研究方面取得出色成果，在一般空間微分幾何學、高維空間共軛理論、幾何外型設計、計算機輔助幾何設計等方面取得突出成就。）在德國的一個什麼公共汽車上，就有人問他這個問題，他老人家當然不會感到有什麼困難了。von Neumann也是瞬間給出了答案，提問的人很失望，說你以前一定聽說過這個訣竅吧，他指的是上面的這個做法。von Neumann說：“什麼訣竅？我所做的就是把狗每次跑得都算出來，然後算出那個無窮的級數。”