前向分步演算法到AdaBoost

前向分步演算法與AdaBoost有什麼關係呢？除了都屬於Boosting的模型，其實AdaBoost是當前向分步演算法損失函式為指數損失時的特例。這篇就寫一下推導的過程。

前向分步演算法 Forward Stagewise Additive Modeling

1. 初始化f0(x)=0
2. 對於m=1,2,...,M
   (a)

(βm,γm)=argminβ,γ∑i=1NL(yi,fm−1(xi)+βb(xi;γ))

(b)

fm(x)=fm−1(x)+βmb(x;γm)

前向分步演算法的步驟如上，其實我覺得應該翻譯成前向分步累加模型

更適合。因為最終的決策函式f(x)是由一系列的基函式b(x;γm)與相應的權值βm累加起來的。前向分步指的是，最小化損失函式獲取第m步的βb(x;γ)時不影響之前已經獲取的引數γ與係數β。

對於迴歸問題，前向分步演算法的損失函式可以選平方損失，即

L(yi,f(x))=(yi−f(x))2

所以有

L(yi,fm−1(xi)+βb(xi;γ))=(yi−fm−1(xi)−βb(xi;γ))2=(rim−βb(xi;γ))2

其中rim=(yi−fm−1(xi))，這可以理解成是當前模型的殘差，為了獲取 βmb(x;γm)，也就是令其去擬合當前模型的殘差。

而AdaBoost是個分類器，對於分類問題，平方損失就不太適合了。所以引入指數損失，即

L(y,f(x))=exp(−yf(x))

基本的AdaBoost是一個二分類模型，令其基函式b(x;γ)=G(x)，所以有Gm(x)∈{−1,1}。
則在指數損失的基礎上，就需要解決如下問題

(βm,Gm)=argminβ,G∑i=1Nexp[−yi(fm−1(xi)+βG(xi))]

令w(m)i=exp(−yifm−1(xi))，則上述公式可以寫成

(βm,Gm)=argminβ,G∑i=1

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