一個有趣的公式

公式

∑i=1ni3=(∑i=1ni)2

這個公式很好證明， 又很好用。

證明：

(n+1)4−n4=4n3+6n2+4n+1 n3=14[(n+1)4−n4]−32n2−n−14 ∑i=1ni3=14[(n+1)4−1]−32∗16n(n+1)(2n+1)−n−14(n+1)n2=14(n4+2n3+n2)=(12n(n+1))2=(∑i=1ni)2

公式背後

我們可以知道fx=xn這是一個積性函式。

(*)而定理告訴我們Fn=∑m|nfm也是一個積性函式。

令dn=∑m|n1.

由(*)可知dn是一個積性函式。

∴[d]3也是積性函式。

∴∑m|n(dm)3也是積性函式。

同理(∑m|ndm)2也是積性函式。

我們可以發現∑m|n(dm)3=(∑m|ndm)2

一個小學就應該知道的東西

整除7

我們知道怎麼快速地判斷一個數是否是2、3、5、9的倍數，但是7的話，老師一直沒有教我們。

我們把需要判斷的數按位寫下來，然後從低位到高位順次乘1, 3, 2, 6, 4, 5判斷和是否是7的倍數就好了。

例如：1234485 5∗1+8∗3+4∗2+4∗6+3∗4+2∗5+1∗1=84是7的倍數，所以原數是7的倍數。

證明

1≡1(mod7),10≡3(mod7),100≡2(mod7)等等。

整除11

現在講講如何判斷一個數是11的倍數。

把這個數的第奇數位的和減去第偶數位的和，判斷是否是11的倍數。

例如：2728 8+7−2−2=11 所以原數是11的倍數。

證明：

易得102k+1≡1(mod11),102k≡−1(mod11).

一定是質數

這個沒什麼用，只是好玩。

fn=n2+n+41,n∈