今天我們來學習一個神奇的資料結構：Palindromic Tree。中譯過來就是——迴文樹。

那麼這個迴文樹有何功能？

假設我們有一個串S，S下標從0開始，則迴文樹能做到如下幾點：

1.求串S字首0~i內本質不同迴文串的個數（兩個串長度不同或者長度相同且至少有一個字元不同便是本質不同）

2.求串S內每一個本質不同迴文串出現的次數

3.求串S內迴文串的個數（其實就是1和2結合起來）

4.求以下標i結尾的迴文串的個數

那麼我們該如何構造迴文樹？

首先我們定義一些變數。

1.len[i]表示編號為i的節點表示的迴文串的長度（一個節點表示一個迴文串）

2.next[i][c]表示編號為i的節點表示的迴文串在兩邊新增字元c以後變成的迴文串的編號（和字典樹類似）。

3.fail[i]表示節點i失配以後跳轉不等於自身的節點i表示的迴文串的最長字尾迴文串（和AC自動機類似）。

4.cnt[i]表示節點i表示的本質不同的串的個數（建樹時求出的不是完全的，最後count()函式跑一遍以後才是正確的）

5.num[i]表示以節點i表示的最長迴文串的最右端點為迴文串結尾的迴文串個數。

6.last指向新新增一個字母后所形成的最長迴文串表示的節點。

7.S[i]表示第i次新增的字元（一開始設S[0] = -1（可以是任意一個在串S中不會出現的字元））。

8.p表示新增的節點個數。

9.n表示新增的字元個數。

一開始迴文樹有兩個節點，0表示偶數長度串的根和1表示奇數長度串的根

假設現在我們有串S = abbaabba。

首先我們新增第一個字元'a'，S[++ n] = 'a'，然後判斷此時S[n - len[last] - 1]是否等於S[n]，即上一個串-1的位置和新新增的位置是否相同，相同則說明構成迴文。否則，last = fail[last]。此時last = 0，我們發現S[1 - 0 - 1] != S[1]，所以last = fail[last] = 1，然後我們發現S[1 - (-1) - 1] == S[1]（即自己等於自己，所以我們讓len[1]等於-1可以讓這一步更加方便）。

令cur等於此時的last（即cur = last = 1），判斷此時next[cur]['a']是否已經有後繼，如果next[cur]['a']沒有後繼，我們就進行如下的步驟：新建節點（節點數p++，且之後p = 3），並讓now等於新節點的編號（now = 2），則len[now] = len[cur] + 2（每一個迴文串的長度總是在其最長子迴文串的基礎上在兩邊加上兩個相同的字元構成的，所以是+2，同時體現出我們讓len[1] = -1的優勢，一個字元自成一個奇迴文串時迴文串的長度為(-1) + 2 = 1）。然後我們讓fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )]['a']，即得到fail[now]（此時為fail[2] = 0），其中的get_fail函式就是讓找到第一個使得S[n - len[last] - 1] == S[n]的last。然後next[cur]['a'] = now。

當上面步驟完成後我們讓last = next[cur][c]（不管next[cur]['a']是否有後繼），然後cnt[last] ++。

此時迴文樹為下圖狀態：

現在我們新增第二個字元字元'b'到迴文樹中：

繼續新增第三個字元'b'到迴文樹中：

繼續新增第四個字元'a'到迴文樹中：

繼續新增第五個字元'a'到迴文樹中：

繼續新增第六個字元'b'到迴文樹中：

繼續新增第七個字元'b'到迴文樹中：

繼續新增第八個字元'a'到迴文樹中：

到此，串S已經完全插入到迴文樹中了，現在所有的資料如下：

然後我們將節點x在fail指標樹中將自己的cnt累加給父親，從葉子開始倒著加，最後就能得到串S中出現的每一個本質不同迴文串的個數。

構造迴文樹需要的空間複雜度為O（N*字符集大小），時間複雜度為O（N*log（字符集大小）），這個時間複雜度比較神奇。如果空間需求太大，可以改成鄰接表的形式儲存，不過相應的要犧牲一些時間。

總的來說，這是一個很好的演算法~

下面給上我的code：

const int MAXN = 100005 ;
const int N = 26 ;

struct Palindromic_Tree {
	int next[MAXN][N] ;//next指標，next指標和字典樹類似，指向的串為當前串兩端加上同一個字元構成
	int fail[MAXN] ;//fail指標，失配後跳轉到fail指標指向的節點
	int cnt[MAXN] ;
	int num[MAXN] ;
	int len[MAXN] ;//len[i]表示節點i表示的迴文串的長度
	int S[MAXN] ;//存放新增的字元
	int last ;//指向上一個字元所在的節點，方便下一次add
	int n ;//字元陣列指標
	int p ;//節點指標

	int newnode ( int l ) {//新建節點
		for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;
		cnt[p] = 0 ;
		num[p] = 0 ;
		len[p] = l ;
		return p ++ ;
	}

	void init () {//初始化
		p = 0 ;
		newnode (  0 ) ;
		newnode ( -1 ) ;
		last = 0 ;
		n = 0 ;
		S[n] = -1 ;//開頭放一個字符集中沒有的字元，減少特判
		fail[0] = 1 ;
	}

	int get_fail ( int x ) {//和KMP一樣，失配後找一個儘量最長的
		while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;
		return x ;
	}

	void add ( int c ) {
		c -= 'a' ;
		S[++ n] = c ;
		int cur = get_fail ( last ) ;//通過上一個迴文串找這個迴文串的匹配位置
		if ( !next[cur][c] ) {//如果這個迴文串沒有出現過，說明出現了一個新的本質不同的迴文串
			int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建節點
			fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自動機一樣建立fail指標，以便失配後跳轉
			next[cur][c] = now ;
			num[now] = num[fail[now]] + 1 ;
		}
		last = next[cur][c] ;
		cnt[last] ++ ;
	}

	void count () {
		for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;
		//父親累加兒子的cnt，因為如果fail[v]=u，則u一定是v的子迴文串！
	}
} ;

看到這大家應該對迴文樹有所瞭解了吧？

下面是一些題目，感興趣的話可以做一下~