一、泊松分佈

日常生活中，大量事件是有固定頻率的。

• 某醫院平均每小時出生3個嬰兒
• 某公司平均每10分鐘接到1個電話
• 某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉
• 某網站平均每分鐘有2次訪問

它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？

有可能一下子出生6個，也有可能一個都不出生。這是我們沒法知道的。

泊松分佈就是描述某段時間內，事件具體的發生概率。

上面就是泊松分佈的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函式關係，t 表示時間，n 表示數量，1小時內出生3個嬰兒的概率，就表示為 P(N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。

接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是0.25%，基本不可能發生。

接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是80%。

泊松分佈的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，在頻率附近，事件的發生概率最高，然後向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生3個嬰兒，這是最可能的結果，出生得越多或越少，就越不可能。

二、指數分佈

指數分佈是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬於指數分佈。是連續的

• 嬰兒出生的時間間隔
• 來電的時間間隔
• 奶粉銷售的時間間隔
• 網站訪問的時間間隔

指數分佈分佈函式如下：

指數分佈的公式可以從泊松分佈推斷出來。如果下一個嬰兒要間隔時間 t ，就等同於 t 之內沒有任何嬰兒出生。

反過來，事件在時間 t 之內發生的概率，就是1減去上面的值。

接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是52.76%。

接下來的15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率是24.92%。

指數分佈的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔2小時才出生的概率是0.25%，那麼間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近於0？

三、總結

一句話總結：泊松分佈是單位時間內獨立事件發生次數的概率分佈，指數分佈是獨立事件的時間間隔的概率分佈。

請注意是"獨立事件"，泊松分佈和指數分佈的前提是，事件之間不能有關聯，否則就不能運用上面的公式。

參考：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html