這是個小題目，按定義窮舉算是基本的練習，並太多特別值得說的地方。選個合適的語言，也就是一兩行程式碼按定義表示出來，比如 Python：

[n for n in range(1, 1000)
    if sum(k for k in range(1, n) if n%k == 0) == n]

另一方面這又是個數學題目。可以想見會有人想出一些辦法去做「優化」，卻輕視程式設計碼程式碼之前的數學與演算法上的分析。實際上，如果未經深思熟慮，這類優化能起到的效果甚微，在本質上不能減少多少運算。因此，倒不如仔細從數學角度好好看看這個問題，給出一個完全不一樣的演算法，或許會讓這個原本不起眼的小題目吃起來更有嚼頭一些。

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由 Euclid-Euler 定理，一個數 n 是偶完全數，當且僅當，其中 是一個梅森素數。

奇完全數是否存在，是當今數論中未解決的問題。但

已有文獻指出，奇完全數即使存在，則不小於 ，因此在合理範圍內無須考慮。

於是現在問題歸結到求一組較小的 k 使 是梅森素數，然後套用 Euclid-Euler 定理公式計算。

驗證梅森素數的方法，較為有效的是 Lucas–Lehmer 檢驗法。即定義

從而 是素數當且僅當

其中 k 是奇數，由梅森素數的性質，等價於 k 是奇素數。k 為偶數 2 則是特殊情形， 是素數。

為方便計算，事實上並不需要求出所有的 ，只要求得餘數即可（否則中間結果會很大）。而這個條件用計算機非常容易驗證。

由於只要求 1000 以內的完全數，因此用 n 的表示式粗略地估計，最多隻要求出 1000 以內的梅森素數。注意到 2 的 10 次方即超出 1000，因此只需要考慮 k 小於 10 的情形進行驗證。因此這也是很有效的演算法，遠好於用定義試除計算。

下面是程式碼：

#include <iostream>
 


inline long mersenne(int k)
{
	return (1L << k) - 1L;
}

// euclid_euler(k) is perfect if mersenne(k) is prime
// http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%E2%80%93Euler_theorem
inline long euclid_euler(int k)
{
	return ((1L<<k) - 1L) << (k-1);
}

// return true if mersenne(k) is prime
bool lucas_lehmer_test
 
(int k)
{
	// special case: merssene(2) = 3 is prime
	if (k <= 2)
		return k == 2;
	// Lucas-Lehmer test
	// http://mathworld.wolfram.com/Lucas-LehmerTest.html
	long s = 4;
	long m = mersenne(k);
	for (int i = 0; i < k - 2; ++i) {
		s = s * s - 2;
		if (m != 0)
			s %= m;
	}
	return s == 0;
}

int main()
{
	const long perfect_number_bound = 1000;
	for (int k = 0; euclid_euler(k) < perfect_number_bound; ++k) {
		if (lucas_lehmer_test(k))
			std::cout << euclid_euler(k) << '\n';
	}
	return 0;
}
// Result:
//   6
//   28
//   496