變分推斷（variational inference）

阿新 • • 發佈：2019-01-20

大家對貝葉斯公式應該都很熟悉

P (Z | X) = \frac{p (X, Z)}{\int_{z} p (X, Z = z) d z}

我們稱 $P (Z | X)$ 為posterior distribution。posterior distribution的計算通常是非常困難的，為什麼呢？
假設 $Z$ 是一個高維的隨機變數，如果要求 $P (Z = z | X = x)$ ,我們不可避免的要計算 $\int_{z} p (X = x, Z = z) d z$ ,由於 $Z$ 是高維隨機變數，這個積分是相當難算的。

variational inference就是用來計算posterior distribution

的。

core idea

variational inference的核心思想包含兩步：

假設分佈 $q (z; λ)$ (這個分佈是我們搞得定的，搞不定的就沒意義了)
通過改變分佈的引數 $λ$ , 使 $q (z; λ)$ 靠近 $p (z | x)$

總結稱一句話就是，用一個簡單的分佈 $q (z; λ)$ 擬合複雜的分佈 $p (z | x)$

這種策略將計算 $p (z | x)$ 的問題轉化成優化問題了

λ^{*} = \arg min_{λ} d i v e r g e n c e (p (z | x), q (z; λ))

收斂後，就可以用

q (z; λ)

來代替

p (z | x)

了

公式推倒

對概率求對數

\begin{aligned} log P (x) & = log P (x, z) - log P (z | x) \\ = log \frac{P (x, z)}{Q (z; λ)} - log \frac{P (z | x)}{Q (z; λ)} \end{aligned}

等式的兩邊同時對分佈

Q (z)

求期望，可以得到閱讀更多

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