引:遞迴求階乘

用遞迴演算法求n!
定義函式fact(n) = n!
則有fact(n) = n*fact(n-1)
已知fact(1) = 1

為了表達得更直觀清晰，定義兩個結點：“或結點”和“與結點”。
1. 或結點如圖9.1所示，圖中A為“或結點”，A依據不同的條件會有兩個不同的取值B或C。

2. 與結點如圖9.3所示，與結點要塗黑，相關聯的B與C之間要用弧線練起來。A為與結點，A的最終取值為C結點的值，但為了求得C的值，得先求出B結點的值，C時B的函式。仍以求n!為例畫出如圖9.4所示的與或圖。

• 圖9.4中，A為或結點；B為直接可解結點，值為1（直接可解結點用圓圈中加一個黑點表示）；C為與結點，當n>1時，A的取值即C的值，而C的值即E的值，為了求得E的值，需要先求出D的值。D值fact(n-1)乘以n即為E的值。

• 與結點可能有多個相關聯的點，這時可描述為圖9.5。圖9.5中A結點的值最終為D的值，但為了求D，需先求B和C。從圖上看，先求左邊的點才能求最右邊的點的值，我們約定最右邊D點的值就是A結點的值。

下面以3！為例來畫與或結點圖，目的是體會遞迴的含義，見圖9.6。

圖9.7畫出了呼叫和返回的遞迴示意圖。

圖9.8為程式框圖

總結：遞迴過程相當於從菜心“推到”外層，但遞迴演算法的出發點不放在初始條件上，而放在求解的目標上，從所求的未知項出發逐次呼叫本身的求解過程，直到遞迴的邊界（即初始條件）。

漢諾（hanoi）塔問題

相傳在古印度聖廟中，有一種被稱為漢諾塔(Hanoi)的遊戲。該遊戲是在一塊銅板裝置上，有三根杆(編號A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按順序放置64個金盤(如下圖)。遊戲的目標：把A杆上的金盤全部移到C杆上，並仍保持原有順序疊好。操作規則：每次只能移動一個盤子，並且在移動過程中三根杆上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置於A、B、C任一杆上。

思路：
先從簡單的情況分析起：

• 在A柱只有一隻盤子，這時只需將該盤從A搬至C，一次完成，記為move 1 from A to C。
• 在A柱上有兩隻盤子，1為小盤，2為大盤（1在2上面）。
  
  1. 將1號盤從A移至B，這是為了讓2號盤能移動，記為move 1 from A to B。
  2. 將2號盤從A移至C，記為move 2 from A to C。
  3. 再將1號盤從B移至C，記為move 1 from B to C。
• 在A柱上有3只盤子，從小到大從上到下分別為1號、2號、3號。
  
  1. 將1號盤和2號盤視為一個整體，先將二者作為整體從A移至B，給3號盤創造能夠一次移至C的機會。這一步記為move(2,A,C,B)，意思是將上面的兩個盤子作為整體從A藉助C移至B。
  2. 將3號盤從A移至C，一次到位，記為move 3 from A to C。
  3. 處於B上的作為一個整體的兩個盤子，再移至C。這一步記為move(2,B,A,C)，意思是將兩個盤子作為整體從B藉助A移至C。所謂藉助是什麼意思，等這件事完成了不言自明。
• 從題目的約束條件看，大盤可以隨便摞小盤，相反則不允許。在將1號和2號盤作為整體從A移至B的過程中，move(2,A,C,B)實際上是分解為以下3步：
  
  1. move 1 from A to C。
  2. move 2 from A to B。
  3. move 1 from C to B。
• 通過以上步驟，將1號和2號盤作為整體從A移至B，為3號盤從A移至C創造了條件。同樣，3號盤一旦到了C，就要考慮如何實現將1號和2號盤當作整體從B移至C的過程了。實際上move(2,B,A,C)也要分解為3步：
  
  1. move 1 from B to A。
  2. move 2 from B to C。
  3. move 1 from A to C。
• 分析move(2,A,C,B)，是說要從兩隻盤子從A搬至B，但沒有C是不行的，因為先要將1號盤從A移到C，給2號盤創造條件從A移至B，然後把1號盤從C移至B。看到這裡就能明白藉助C的含義了。因此，在構思搬遷過程的參量時，要把3個柱子都用上。
• 定義搬遷函式move(n,A,B,C)，物理意義是將n只盤子從A經B搬到C。考慮上面的分析可以將搬遷過程用圖9.14表示。
  
• 圖9.14中將move(n,A,B,C)分解為3步。這3步是相關的，相互依存的，而且是有序的，從左至右執行的。
  
  1. move(n-1,A,C,B),理解為將上面的n-1只盤子作為一個整體從A經C移至B。
  2. 輸出n : A to C，理解為將n號盤從A移至C，是直接可解結點。
  3. move(n-1,B,A,C)，理解為將上面的n-1只盤子作為一個整體從B經A移至C。這裡顯然是一種遞迴定義，當在解move(n-1,A,C,B)時又可想到，將其分解為3步：
     
     1. 將上面的n-2只盤子作為一個整體從A經B到C，即move(n-2,A,B,C)。
     2. 第n-1號盤走從A直接移至B，即n-1 : A to B。
     3. 再將上面的n-2只盤子作為一個整體從C經A移至B，即move(n-2,C,A,B)。

下面以3只盤子為例畫出遞迴的與或圖，見圖9.15。

這個圖很像一棵倒置著的樹，結點move(3,A,B,C)是樹根，與結點是樹的分枝，葉子都是直接可解結點。
圖9.16和圖9.17是為了能夠體會呼叫和返回的過程畫出的，目的是為了結合比例加深理解遞迴過程。

遞迴求解漢諾塔問題

#include <iostream>
using namespace std;

int step = 1;
void move(int, char, char, char);

int main()
{
    int n;//盤輸
    cin >> n;
    cout << "在3根柱子上移" << n <<"只盤的步驟為：" << endl;
    move(n,'A', 'B', 'C');
    return 0;
}

//以下函式是被主程式呼叫的函式
//函式名：move
//輸入：m，整形變數，表示盤子數目
//p,q,r為字元型變數，表示柱子標號
//返回值：無
void move(int m, char p, char q, char r)
{
    if(m==1) //如果m為1，則為直接可解結點
    {
        //直接可解結點，輸出移盤資訊
        cout << "[" << step << "] move 1 # from " << p << " to " << r << endl;
        step++;
    }
    else
    {
        move(m-1, p, r, q); //遞迴呼叫move(m-1)
        //直接可解結點，輸出移盤資訊
        cout << "[" << step << "] move " <<  m << " # from " << p << " to " << r << endl;
        step++;
        move(m-1, q, p, r); //遞迴呼叫move(m-1)
    }
}

input：
3
output：
在3根柱子上移3只盤的步驟為：
[1] move 1 # from A to C
[2] move 2 # from A to B
[3] move 1 # from C to B
[4] move 3 # from A to C
[5] move 1 # from B to A
[6] move 2 # from B to C
[7] move 1 # from A to C