1，1，2，3，5…..好熟悉的斐波拉契數列，請輸出斐波拉契數列的第n項。

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一個數 n

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一個數 斐波拉契數列的第n項 ，答案摸10000007；

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4

輸出樣例

3

資料範圍

50% 0<n<=100000;

100% 0<n<=1000000000000。

【解題思路】

設Fibonacci數列的第n項為F(n)。則：

1，遞推：F[1] = F[2] = 1。F[i] = F[i-1] + F[i-2](i>2)。時間複雜度O(n)，期望得分50。

2，通項公式：

加上快速冪時間是O(logn)。但會出現精度問題。

3，正解：矩陣乘法！

則A=。

然後計算A的n-2次方乘上[F[1]F[2]]就可以了。

矩陣乘法的時間複雜度為O(1*2*2)，而計算A的n-2次方可以用快速冪。則總時間複雜度為O(4*logn)=O(logn)。

【程式】

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 10000007LL;
const int Maxn = 5;

struct Tnode{
	int n,m;
	LL map[Maxn][Maxn];
};

Tnode multi(Tnode& x,Tnode& y)
{
	Tnode z;
	z.n = x.n; z.m = y.m;
	for(int i=1;i<=z.n;i++)
	for(int j=1;j<=z.m;j++)
	{
		z.map[i][j] = 0;
		for(int k=1;k<=x.m;k++)
			z.map[i][j] = ( z.map[i][j] + x.map[i][k] * y.map[k][j] ) % MOD;
	}
	return z;
}

Tnode b;

Tnode q_pow(LL p)
{
	if(p == 1) return b;
	Tnode y = q_pow(p/2);
	y = multi(y,y);
	if(p % 2 == 1) y = multi(y,b);
	return y;
}

LL n;
int main()
{
	freopen("Fibonacci.in","r",stdin);
	freopen("Fibonacci.out","w",stdout);
	cin>>n;
	if(n <= 2)
	{
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	
	Tnode a;
	a.n = 1; a.m = 2;
	a.map[1][1] = 1; a.map[1][2] = 1;
	
	b.n = 2; b.m = 2;
	b.map[1][1] = 0; b.map[1][2] = 1;
	b.map[2][1] = 1; b.map[2][2] = 1;
	
	Tnode now = q_pow(n-2);
	now = multi(a,now);
	cout<<now.map[1][2];
	
	return 0;
}