2017ACM/ICPC亞洲區瀋陽站_Wandering Robots(hash)_馬爾科夫鏈_隨機遊走
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #define INF 0x3f3f3f3f #define rep0(i, n) for (int i = 0; i < n; i++) #define rep1(i, n) for (int i = 1; i <= n; i++) #define rep_0(i, n) for (int i = n - 1; i >= 0; i--) #define rep_1(i, n) for (int i = n; i > 0; i--) #define MAX(x, y) (((x) > (y)) ? (x) : (y)) #define MIN(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y)) #define mem(x, y) memset(x, y, sizeof(x)) #include <map> #define MAXN (10000 + 10) #define MAXK 1000 /** 題目大意 N * N的區域內,有K個格子不能到達,機器人從(0, 0)出發有均等的該概率 留在原地和到達上下左右可到達的區域,問無窮遠的時間以後有多大概率到達 x + y >= n - 1 的區域 思路 計算除了不能到達的格子之外的格子能通往多少方向d,則格子的權值為d + 1 ans = x + y >= n - 1 的格子的權值之和 / 總權值和 ******************************************************* 馬爾科夫鏈的隨機遊走模型 可建立狀態轉移矩陣,對n * n 的圖中n * n 個點編號為0 ~[ (n - 1) * n + n – 1] 設最大編號為max P = p(i, j) = [p(0, 0) p(0, 1) … p(0, max) P(1, 0) p(1, 1) … p(1, max) … P(max, 0) p(max, 1) … p(max, max)] π(i) 為i時間各點的概率 π(n + 1) = π(n) * P 當時間->無窮 π(n + 1)->π 可以通過 π * P = π 計算 驗證猜測結果正確 ******************************************************* 找規律的答案 有待證明 現在能想到的是 整個封閉系統每個格子以出現機器人的概率作為權值 在很長的時間線上是一個熵增的 過程(想到元胞自動機),如果要模擬這個概率擴散的過程的話,格子的權值的更新是一個用他所能到達的格子的權值 和他自身的權值迭代的過程,這個過程中可以發現他的相鄰的格子的權值是在不斷同化的,因此,在無窮遠後 (0, 0)的和他周圍的格子的權值不在體現優勢,而更加開放的格子則更佔優(可根據迭代公式理解) */ using namespace std; typedef long long LL; int n, k; map<LL, int> mp; int dir[4][2] = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}}; int g[MAXK][2]; LL gcd(LL x, LL y) { if (y == 0) return x; else return gcd(y, x % y); } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt", "r", stdin); #endif // ONLINE_JUDGE int t, kase = 0; scanf("%d", &t); while(t--) { mp.clear(); scanf("%d %d", &n, &k); LL a = 0, b = 0; if (n > 2) { a += (LL)(n - 2) * 4 * 2 + 3 * 3 + (LL)(n - 2) * (n - 1) / 2 * 5; b += 4 * 3 + (LL)(n - 2) * 4 * 4 + (LL)(n - 2) * (n - 2) * 5; } else { a += 3 * 3; b += 4 * 3; } //cout << a << " " << b << endl; int x, y; for (int i = 0; i < k; i++) { scanf("%d %d", &x, &y); pair<LL, int> tmp; tmp.first = (LL)x * MAXN + y; tmp.second = i; mp.insert(tmp); } map<LL, int> :: iterator itr; map<LL, int> :: iterator itr1; for (itr = mp.begin(); itr != mp.end(); itr++) { x = (itr->first) / MAXN; y = (itr->first) % MAXN; int cnt = 0; for (int i = 0; i < 4; i++) { int nx = x + dir[i][0], ny = y + dir[i][1]; if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n) continue; cnt++; bool t = (itr1 = mp.find( (LL) nx * MAXN + ny) ) == mp.end(); if (t && nx + ny >= n - 1) { b--; a--; } else if (t) b--; } b -= cnt + 1; if (x + y >= n - 1) a -= cnt + 1; } LL g = gcd(a, b); printf("Case #%d: %lld/%lld\n", ++kase, a / g, b / g); } return 0; }
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