原題連結.

題解：

必知知識：

σ(n)是n的約數和。
若n=∏pqii
則σ(n)=∏∑qij=0pji
=∏pqi+1i−1pi−1
知道了這個就可以線性篩法了，如有不懂得見code。

必要結論：

σ(i∗j)=∑p|i∑q|jp∗jq(gcd(p,q)=1)

證明：

∑p|i∑q|jp∗jq(gcd(p,q)=1)
=∑p|i∑q|jp∗q(gcd(p,jq)=1)

對每一個質因子分類討論：

設i=∑puii,j=pvii
p=∑plii,q=∑prii

1.若ui>=li>0,則ri=vi,此時可以表示出p(vi+1)−>

(ui+vi)i。
2.li=0，則vi>=ri>=0,此時可以表示出p0−>vii.

於是可以得出p∗q一定可以表示出每個質因子p0−>(ui+vi)i，合起來就包括了所有i*j的所有約數。

∴σ(i∗j)=∑p|i∑q|jp∗jq(gcd(p,q)=1)

有了gcd就可以反演了。

Ans=∑ni=1∑nj=1σ(i∗j)∗max(i,j)
=∑ni=1∑nj=1∑p|i∑q|jp∗