在刷省選時，我們時常會遇到一些字串的題目。也有許多的演算法供我們選擇，如：

KMP、拓展KMP、最小表示法、Manacher、Trie、字尾陣列、字尾自動機、AC自動機（樹上KMP）等等等，日後我會逐一填坑。今天先來介紹一個最暴力且用途最大的——字串Hash。

首先，要想學好Hash，必須要明白一件事：兩個元素若全等，其雜湊值必定也相等；但雜湊值相等，兩個元素未必全等（雜湊值相等是兩個元素全等的必要不充分條件）。

看了這句話我想大家都明白，Hash時要儘量使衝突概率趨近於0，即，儘量的滿足其充分性。下面介紹一種Hash方法。

先取一固定值P（prime的首字母，可以看出這個P取質數最好，而且一般用大質數），把字串看作一個P進位制的數。（我想這個並不難理解，因為16進制中也包含著一些字母）然後取出另一固定值M，求出該P進位制數對M取餘的結果，即為字串雜湊值。M我們一般取2的64次方，但實際操作時呢我們不需要對M取模（取模是個效率極低的運算）。我們用unsigned long long型別儲存雜湊值，讓其自然溢位就好，因為此型別是不會出現負數的（無符號位）。P的話我參考了李煜東前輩的給出的值——131或13331，此時衝突概率極低。

如果你還是不放心，那可以同時做好多組P與M，判斷時多判斷幾次，如果所有的雜湊值都相等，再得出結論。

在處理子串問題時，我們一般採用字首和去維護雜湊值（當然，你可以使用樹狀陣列啊，平衡樹啊，去動態維護整個序列，比如bzoj1014，後續我會給出題解）。這裡介紹一個字首和的方法。首先按照進製法則預處理出每一個字首的雜湊值，程式碼如下：

for(int i = 1; i <= n; ++i) hash[i] = hash[i - 1] * P + str[i] - 'a';  

如果我們需要取出某段子串（str[l~r]）的雜湊值，程式碼如下：

inline ull getsub(int l, int r) {return hash[r] - hash[l - 1] * bin[r - l + 1];}  
 

也就是：hash[l~r] = hash[1~r] - hash[l - 1] * pow(P, r - l + 1);

這個bin陣列也是ull型別的，bin[i]表示P的i次方64位自然溢位的結果，也就是：

hash[l~r] = hash[1~r] - hash[1~l - 1] * pow(P, r - l + 1); 

為了效率，我們提前用O(n)的時間預處理了bin。我第一次做字串Hash時（poj3974），自然是沒有暴力算pow。我使用了快速冪【捂臉】，一個logn直接導致超時（可怕的logn）。

字串Hash一般是伴隨著二分出現的，就比如poj3974，我們要得到最大值，自然可以二分。

就寫到這裡了，後續我還會發一些字串Hash的神奇應用的。（貌似這篇blog裡挖了好多坑等我去填）