理論: 數論(1):整除、gcd以及lcm
阿新 • • 發佈:2019-01-22
整除
整除的性質
設a, b是兩個整數, 並且b ≠ 0. 如果存在整數c, 使得 a = b * c , 則稱a被b整除, 或者b整除a,記作b |a(這裡是a 被 b整除, a >= b)
此時又稱a是b的倍數, b是a的因子。如果b不整除a, 記作
整除基本定義
定義1.1:如果n被2除的餘數為 0, 則對於某個整數k, 有n = 2k, 我們稱n為偶數;而如果n被2除的餘數為1, 我們則對於某個整數k, 有n = 2k + 1, 我們稱n為奇數。
定義1.2 :設a, b是兩個整數, 並且b ≠0, 則存在唯一的整數q和r, 使得:
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這個表示式叫做帶餘式除法, 並記作r = a (mod b); 例如 -13 mod 5 = 3
整除的性質
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整除的應用
整除的位數
斐波那契整除
gcd和lcm
基本定義
定義1.3: 設a和b是兩個整數, 如果d|a, 並且d|b, 那麼我們稱d是a與b的公因子。
定義1.4: 設a和b是兩個不全為0的整數, 稱a與b的公因子中最大的為a與b的最大公因子, 或最大公約數, 記作gcd(a, b), 有時簡記為(a, b)
定義1.5: 設a和b是兩個非零證書, 稱a與b的最小正公倍數為a與b的最小公倍數, 記作lcm(a, b), 有時簡記為[a, b]
基本運算性質
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關於gcd和lcm的運算
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上述兩圖就是傳說中的歐幾里得定理
gcd運算性質的證明
簡要證明:
我們之所以說上述的遞迴式成立,是因為m和n的任何公因子也必定是m和(n mod m)的公因子。
證明上述一句話是基於以下公式
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在這裡我們可以由此引入拓展歐幾里得定理
完整證明:
設 其中(a,b,q,r)∈Z,則:
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!證:只需證a與b、b與r有相同的公因子。
(1).設d是a與b的公因子, 即(d|a)且(d|b)。我們注意到
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從而我們可以的得到如下的推導過程:
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這裡我們證明了在a|b 的情況下的正確定(就是在上面表示式中gcd(0,n)的正確性)
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(2).設d是b與r的公因子, 從而我們有如下推導:
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gcd和lcm演算法偽碼描述
while(max!= 0)
min→temp
max mod min→min
temp→max
return <max>