Floyd-Warshall演算法詳解（轉）
Floyd-Warshall演算法，簡稱Floyd演算法，用於求解任意兩點間的最短距離，時間複雜度為O(n^3)。我們平時所見的Floyd演算法的一般形式如下：
1 void Floyd(){
2 int i,j,k;
3 for(k=1;k<=n;k++)
4 for(i=1;i<=n;i++)
5 for(j=1;j<=n;j++)
6 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
7 dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
8 注意下第6行這個地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程式中用一個很大的數代替。最好寫成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j])，從而防止溢位所造成的錯誤。
上面這個形式的演算法其實是Floyd演算法的精簡版，而真正的Floyd演算法是一種基於DP(Dynamic Programming)的最短路徑演算法。
設圖G中n 個頂點的編號為1到n。令c [i, j, k]表示從i 到j 的最短路徑的長度，其中k 表示該路徑中的最大頂點，也就是說c[i,j,k]這條最短路徑所通過的中間頂點最大不超過k。因此，如果G中包含邊 < i, j>，則c[i, j, 0] =邊 < i, j> 的長度；若i= j ，則c[i,j,0]=0；如果G中不包含邊 < i, j>，則c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 則是從i 到j 的最短路徑的長度。
對於任意的k>0，通過分析可以得到：中間頂點不超過k 的i 到j 的最短路徑有兩種可能：該路徑含或不含中間頂點k。若不含，則該路徑長度應為c[i, j, k-1]，否則長度為 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取兩者中的最小值。
狀態轉移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。
這樣，問題便具有了最優子結構性質，可以用動態規劃方法來求解。
為了進一步理解，觀察上面這個有向圖：若k=0, 1, 2, 3，則c[1,3,k]= +∞；c[1,3,4]= 28；若k = 5, 6, 7，則c [1,3,k] = 10；若k=8, 9, 10，則c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路徑長度為9。
下面通過程式來分析這一DP過程，對應上面給出的有向圖：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int INF = 100000;
5 int n=10,map[11][11],dist[11][11][11];
6 void init(){
7 輸入 1 3
輸出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall演算法不僅能求出任意2點間的最短路徑，還可以儲存最短路徑上經過的節點。下面用精簡版的Floyd演算法實現這一過程，程式中的圖依然對應上面的有向圖。
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int INF = 100000;
5 int n=10,path[11][11],dist[11][11],map[11][11];
6 void init(){
7 int i,j;
8 for(i=1;i<=n;i++)
9 for(j=1;j<=n;j++)
10 map[i][j]=(i==j)?0:INF;
11 map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
12 map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
13 map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
14 map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
15 map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
16 }
17 void floyd(){
18 int i,j,k;
19 for(i=1;i<=n;i++)
20 for(j=1;j<=n;j++)
21 dist[i][j]=map[i][j],path[i][j]=0;
22 for(k=1;k<=n;k++)
23 for(i=1;i<=n;i++)
24 for(j=1;j<=n;j++)
25 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
26 dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j],path[i][j]=k;
27 }
28 void output(int i,int j){
29 if(i==j) return;
30 if(path[i][j]==0) cout<<j<<' ';
31 else{
32 output(i,path[i][j]);
33 output(path[i][j],j);
34 }
35 }
36 int main(){
37 int u,v;
38 init();
39 floyd();
40 while(cin>>u>>v,u||v){
41 if(dist[u][v]==INF) cout<<"No path"<<endl;
42 else{
43 cout<<u<<' ';
44 output(u,v);
45 cout<<endl;
46 }
47 }
48 return 0;
49 }
輸入 1 3
輸出 1 2 5 8 6 3
floyd演算法
弗洛伊德（Floyd）演算法過程：
１、用D[v][w]記錄每一對頂點的最短距離。
２、依次掃描每一個點，並以其為基點再遍歷所有每一對頂點D[][]的值，看看是否可用過該基點讓這對頂點間的距離更小。
演算法理解：
最短距離有三種情況：
１、兩點的直達距離最短。（如下圖 < v,x>）
２、兩點間只通過一箇中間點而距離最短。（圖 < v,u>）
３、兩點間用通過兩各以上的頂點而距離最短。（圖 < v,w>）
對於第一種情況：在初始化的時候就已經找出來了且以後也不會更改到。
對於第二種情況：弗洛伊德演算法的基本操作就是對於每一對頂點，遍歷所有其它頂點，看看可否通過這一個頂點讓這對頂點距離更短，也就是遍歷了圖中所有的三角形（演算法中對同一個三角形掃描了九次，原則上只用掃描三次即可，但要加入判斷，效率更低）。
對於第三種情況：如下圖的五邊形，可先找一點（比如x，使< v,u>=2），就變成了四邊形問題，再找一點（比如y,使 < u,w>=2），可變成三角形問題了（v,u,w），也就變成第二種情況了，由此對於n邊形也可以一步步轉化成四邊形三角形問題。（這裡面不用擔心哪個點要先找哪個點要後找，因為找了任一個點都可以使其變成（n－1）邊形的問題）。
floyd的核心程式碼:
for (k=0;k<g.vexnum;k++)
{
for (i=0;i<g.vexnum;i++)
{
for (j=0;j<g.vexnum;j++)
{
if (distance[i][j]>distance[i][k]+distance[k][j])
{
distance[i][j]=distance[i][k]+distance[k][j];
}
}
}
}
結合程式碼 並參照上圖所示 我們來模擬執行下 這樣才能加深理解：
第一關鍵步驟：當k執行到x，i=v,j=u時，計算出v到u的最短路徑要通過x，此時v、u聯通了。
第二關鍵步驟：當k執行到u，i=v，j=y，此時計算出v到y的最短路徑的最短路徑為v到u，再到y(此時v到u的最短路徑上一步我們已經計算過來，直接利用上步結果)。
第三關鍵步驟：當k執行到y時，i=v，j=w，此時計算出最短路徑為v到y(此時v到y的最短路徑長在第二步我們已經計算出來了)，再從y到w。
依次掃描每一點(k)，並以該點作為中介點，計算出通過k點的其他任意兩點(i,j)的最短距離，這就是floyd演算法的精髓！同時也解釋了為什麼k點這個中介點要放在最外層迴圈的原因.
//多源最短路徑,floyd_warshall演算法,複雜度O(n^3)
//求出所有點對之間的最短路經,傳入圖的大小和鄰接陣
//返回各點間最短距離min[]和路徑pre[],pre[i][j]記錄i到j最短路徑上j的父結點
//可更改路權型別,路權必須非負!
#define MAXN 200
#define inf 1000000000
typedef int elem_t;
void floyd_warshall(int n,elem_t mat[][MAXN],elem_t min[][MAXN],int pre[][MAXN]){
int i,j,k;
for (i=0;i<n;i++)
for (j=0;j<n;j++)
min[i][j]=mat[i][j],pre[i][j]=(i==j)?-1:i;
for (k=0;k<n;k++)
for (i=0;i<n;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (min[i][k]+min[k][j]<min[i][j])
min[i][j]=min[i][k]+min[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];
}