解題筆記(25)——把陣列排成最小的數
問題描述:輸入一個正整數陣列,將它們連線起來排成一個數,輸出能排出的所有數字中最小的一個。例如輸入陣列{32, 321},則輸出這兩個能排成的最小數字32132。請給出解決問題的演算法,並證明該演算法。
思路:先將整數陣列轉為字串陣列,然後字串陣列進行排序,最後依次輸出字串陣列即可。這裡注意的是字串的比較函式需要重新定義,不是比較a和b,而是比較ab與 ba。如果ab < ba,則a < b;如果ab > ba,則a > b;如果ab = ba,則a = b。比較函式的定義是本解決方案的關鍵。
證明:為什麼這樣排個序就可以了呢?簡單證明一下。根據演算法,如果a < b,那麼a排在b前面,否則
(1)xxxxab,用ba代替ab可以得到xxxxba,這個數字是小於xxxxab,與假設矛盾。因此排成的最小數字中,不存在上述假設的關係。
(2)abxxxx,用ba代替ab可以得到baxxxx,這個數字是小於abxxxx,與假設矛盾。因此排成的最小數字中,不存在上述假設的關係。
(3)axxxxb,這一步證明麻煩了一點。可以將中間部分看成一個整體ayb,則有ay
< ya,yb < by成立。將ay和by表示成10進位制數字形式,則有下述關係式,這裡a,y,b的位數分別為n,m,k。
關係1: ay < ya => a * 10^m + y < y * 10^n + a => a * 10^m - a < y * 10^n - y => a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y
關係2: yb < by => y * 10^k + b < b * 10^m + y => y * 10^k - y < b * 10^m - b => y < b( 10^m -1)/( 10^k -1)
關係3: a(
10^m - 1)/( 10^n - 1) < y < b( 10^m -1)/( 10^k -1) => a/( 10^n - 1)< b/( 10^k -1) => a*10^k - a
< b * 10^n - b =>a*10^k + b < b * 10^n + a => a < b
這與假設a > b矛盾。因此排成的最小數字中,不存在上述假設的關係。
綜上所述,得出假設不成立,從而得出結論:對於排成的最小數字,不存在滿足下述關係的一對字串:a > b,但是在組成的數字中a出現在b的前面。從而得出演算法是正確的。
參考程式碼:
//重新定義比較函式物件
struct compare
{
bool operator() (const string &src1, const string &src2)
{
string s1 = src1 + src2;
string s2 = src2 + src1;
return s1 < s2; //升序排列,如果改為s1 > s2則為逆序排列
}
};
//函式功能 : 把陣列排成最小的數
//函式引數 : pArray為陣列,num為陣列元素個數
//返回值 : 無
void ComArrayMin(int *pArray, int num)
{
int i;
string *pStrArray = new string[num];
for(i = 0; i < num; i++) //將數字轉換為字串
{
stringstream stream;
stream<<pArray[i];
stream>>pStrArray[i];
}
sort(pStrArray, pStrArray + num, compare()); //字串陣列排序
for(i = 0; i < num; i++) //列印字串陣列
cout<<pStrArray[i];
cout<<endl;
delete [] pStrArray;
}