三維空間的旋轉可以用尤拉角，旋轉矩陣，軸-角，四元數，雙四元數來表示，本文主要總結這些表示方法的優缺點。像矩陣、四元數等的實現的下載地址，可以參考這裡，也可以參考Ogre渲染引擎的核心，都有很高效的實現方法。

一．  尤拉角（Euler-Angles）

1.1    介紹

尤拉角包括3個旋轉，根據這3個旋轉來指定一個剛體的朝向。這3個旋轉分別繞x軸，y軸和z軸，分別稱為Pitch，Yaw和Roll，如下圖所示。尤拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋轉的順序影響結果。

圖1. 尤拉角的表示

尤拉角很重要的一個優點就是直觀，容易理解。

尤拉角主要有下面幾個缺點：

（1）       尤拉角是不可傳遞的，旋轉的順序影響旋轉的結果，不同的應用又可能使用不同的旋轉順序，旋轉順序無法統一；

（2）       3個旋轉的角度可以不受限制，即可以是10000度，也可以是-1500度；

（3）       可能造成萬向節死鎖（Gimbal Lock）。

1.2 平萬向節死鎖

當兩個環發生重疊的時候，就有丟失了一個自由度，如圖2所示。對萬向節死鎖可以參考【1】【2】【3】，特別是【1】提供的視訊，對知識點的介紹非常的形象生動。也正是由於鎖的存在，無法使用尤拉角實現球面平滑的插值。

圖2. 萬向節死鎖

二． 旋轉矩陣

用3*3的矩陣，可以表示三維空間中所有的旋轉，設 θ

X=⎛⎝⎜1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎞⎠⎟   Y=⎛⎝⎜cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎞⎠⎟   Z=⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟

旋轉矩陣支援傳遞性，使用起來很簡單方便，但是存在下面一些缺點：

（1）       浪費記憶體，至少需要12個引數，來表示一個6個自由度的結構；

（2）       可能就引入不該有的縮放（Scaling）和錯切（Sheering）

（3）       矩陣插值的實現難度很大；

（4）       不直觀。

三．  軸-角度

繞著單位長度的軸旋轉某個角度，使用組合對 (n⃗ ,θ) 。

該方向很直觀，避免了尤拉角使用時的萬向節死鎖；但是實現多個旋轉的組合時，比較困難；不能簡單的通過對4個元素的線性插值來實現軸-角度的插值，會引起錯誤。

四． 四元數

參考《四元數》和《雙四元數》，也可以參考【5】【6】【7】，這裡只簡單的描述下該方法的優缺點。

它的缺點就是很不直觀，理解起來較費勁。但是存在很多優點：

（1）       更健壯，不會出現尤拉角中出現的萬向節死鎖。

（2）       更高效，花費更少的空間和時間；當使用有限的精度對矩陣進行大量的操作，就會發生漂移（Drift），實數的四捨五入就會不斷累積到矩陣中。由於漂移的存在，旋轉的操作就可能發生錯誤，所以要對矩陣進行歸一化操作，重置矩陣，這是很費時的操作。四元數只有4個值，而矩陣有9個，它經歷的漂移作用就小，而且歸一化時間就更少。

（3）       使用起來很簡單

五． 雙四元數

雙四元數，參考《雙四元數》一文。簡單來說，就是它使用了兩個四元數，8個引數，不僅可以表示旋轉，也可以表示位移。

六． 參考

【4】       Kenwright, Ben. "A Beginners Guide to Dual-Quaternions."