資料結構筆記整理第5章：樹和二叉樹
第5章 樹和二叉樹
本章內容
本章主要介紹樹、二叉樹的概念，遍歷方法以及應用等，本章在考研中是重點內容。
5.1 樹相關的基本概念
樹是一種非線性的資料結構，是若干結點的集合，有唯一的根結點和若干棵互不相交的子樹構成。其中每一棵子樹又是一棵樹，也是由唯一的根結點和若干棵互不相交的子樹組成的，由此可知：樹的定義是遞迴的。樹的結點數目可以為0，為0的時候是一棵空樹。
結點：結點不僅包含資料元素，而且包含指向子樹的分支。
結點的度：結點擁有子樹的個數或者分支的個數。
樹的度：樹中各結點度的最大值。
葉子結點：終端結點，度為0的結點。
非終端結點：分支結點，內部結點，度不為0的結點。
以根結點為第一層，以此類推。
樹的高度（深度）：樹中結點的最大層次。
結點的深度：從根結點開始計算，根結點深度為1。
結點的高度：從底層葉子結點開始計算，葉子結點高度為1。
有序樹：樹中結點子樹從左到右有序，不能交換。
豐滿樹：出最底層外，其他層都是滿的。
森林：若干棵互不相交的樹的集合。
5.2 樹的儲存結構
雙親儲存結構：一種順序儲存結構，知道了i，tree[i]為其雙親結點。
孩子儲存結構：同圖中的鄰接表儲存。
5.3 二叉樹的相關的基本概念
一般的樹加上如下的兩個限制條件，就得到了二叉樹：每個結點最多隻有兩棵子樹，即二叉樹中結點的度只能為0，1以及2；子樹有左右之分，不能顛倒。
滿二叉樹：
完全二叉樹：一棵深度為K有n個結點的二叉樹進行編號後，各結點的編號與深度為K的滿二叉樹上相同位置的結點的編號相同。一棵完全二叉樹一定是由一棵滿二叉樹從右至左、從下至上挨個刪除結點所得到的。
5.4 二叉樹的主要性質
1.非空二叉樹上葉子結點數等於雙分支結點數加1，即總分支數 = 總結點數 - 1
2.二叉樹的第i層上最多有
(i >= 1)個結點
3.高度（或深度）為K的二叉樹最多有
個結點，換句話說：滿二叉樹中前K層結點個數為：
4.有n個結點的完全二叉樹，對各結點從上到下，從左到右依次編號（範圍1~n），則結點之間的關係，若i為某結點編號，則：
若i≠1，雙親編號⌊i/2⌋；
若2i≤n，左孩子為2i，若2i>n，無左孩子；
若2i+1≤n，右孩子為2i+1，若2i+1>n，無右孩子；
5.n個結點，構成h(n)種不同的二叉樹，則：
6.n個結點的完全二叉樹高度（深度）為：
5.5 二叉樹的儲存結構
順序儲存：最適合於完全二叉樹，使用順序儲存結構要從陣列下標為1開始。這裡要注意區分樹的順序儲存結構和二叉樹的順序儲存結構：
樹：陣列下標代表結點的編號，內容表示結點之間的關係；
二叉樹：陣列下標既指示了編號又指示了關係。
鏈式儲存：
typedef struct BTNode {
char data;
struct BTNode *lchild;
struct BTnode *rchild;
}BTNode;
5.6 樹、森林與二叉樹的轉換
將樹轉換為二叉樹：同一結點的各孩子結點用線串起來，將每個結點的分支從左往右除了第一個以外，其餘全部剪掉，擦掉虛線，連成實線，得到二叉樹。
【例子1】樹轉換為二叉樹
將森林轉換為二叉樹：根據孩子兄弟的法則，根結點沒有右兄弟，所以轉換為二叉樹沒有右孩子。將森林中第二棵樹轉換成的二叉樹，當作第一棵樹的右子樹，依此類推。
【例子2】森林轉換為二叉樹
5.7 二叉樹的遍歷演算法
包括：先序遍歷、中序遍歷、後序遍歷和層次遍歷。
先序遍歷：
如果二叉樹為空數，什麼都不做。
否則，訪問根節點->先序遍歷左子樹->先序遍歷右子樹
/* pre order by recursion method */
void preOrder(BTNode *p) {
if (p != null) {
visit(p->data);
preOrder(p->lchild);
preOrder(p->rchild);
}
}
/* pre order by no recursion method */
void preOrder(BTNode *p) {
Stack <BTNode *> s;
BTNode *q;
q = p;
s.initial();
while(q != null || !s.empty()) {
if (q != null) {
visit(q->data);
s.push(q);
q = q->lchild;
}
else {
s.pop(q);
q = q->rchild;
}
}
}
中序遍歷：
如果二叉樹為空數，什麼都不做。
否則，中序遍歷左子樹->訪問根結點->中序遍歷右子樹
/* in order by recursion method */
void inOrder(BTNode *p) {
if (p != null) {
inorder(p->lchild);
visit(p->data);
inorder(p->rchild);
}
}
/* in order by no recursion method */
void inOrder(BTNode *p) {
Stack <BTNode *> s;
BTNode *q = p;
s.initial();
while(q != null || !s.empty()) {
if (q != null) {
s.push(q);
q = q->lchild;
}
else {
s.pop(q);
visit(q->data);
q = q->rchild;
}
}
}
後序遍歷：
如果二叉樹為空數，什麼都不做。
否則，後序遍歷左子樹->後序遍歷右子樹->訪問根結點
/* post order by recursion method */
void postOrder(BTNode *p) {
if (p != null) {
postOrder(p->lchild);
postOrder(p->rchild);
visit(p->data);
}
}
/* post order by no recursion method */
void postOrder(BTNode *p) {
Stack <BTNode *> s;
Stack <int> tag;
BTNode *q = p;
int f;
s.initial();
tag.initial();
while(q != null || !s.empty()) {
if (q != null) {
s.push(q);
q = q->lchild;
tag.push(1);
}
else {
s.pop(q);
tag.pop(f);
if (f == 1) {
s.push(q);
tag.push(2);
q = q->rchild;
}
else {
visit(q->data);
q = null;
}
}
}
}
層次遍歷：
按照一定的方向（如從左至右，從上至下）每一層次對二叉樹各個結點進行訪問。要進行層次遍歷，需要建立一個迴圈佇列，先將二叉樹頭結點入佇列，然後出佇列，訪問該結點，如果有左子樹，則左子樹根結點入隊；如果有右子樹，則右子樹根結點入隊。出佇列，訪問出佇列結點，如此反覆直到佇列空為止。
void levelOrder(BTNode *p) {
Queue <BTNode *> q;
BTNode *r;
q.initial();
if (p != null) {
q.push(p);
while(!q.empty()) {
q.pop(r);
visit(r->data);
if (r->lchild != null) {
q.push(r->lchild);
}
if (r->rchild != null) {
q.push(r->rchild);
}
}
}
}
【例子3】二叉樹的遍歷結果
先序遍歷：A->B->C->D->E->F->G->H
中序遍歷：C->B->E->D->F->A->H->G
後序遍歷：C->E->F->D->B->H->G->A
層次遍歷：A->B->G->C->D->H->E->F
5.8 樹和森林的遍歷演算法
樹的遍歷：
先根遍歷：先訪問根結點、再訪問子樹。
後根遍歷：先訪問子樹，再訪問根結點。
樹的先根遍歷對應二叉樹的先序遍歷。
樹的後根遍歷對應二叉樹的中序遍歷。
森林的遍歷：
先序遍歷：對應二叉樹的先序遍歷，先訪問第一棵樹的根結點，先序遍歷第一棵樹中根結點的子樹，先序遍歷森林中除去第一棵樹的其他樹。
中序遍歷：對應二叉樹的中序遍歷，中序遍歷第一棵樹根結點的子樹，訪問第一棵樹的根結點，中序遍歷森林中除去第一棵樹的其他樹。
5.9 線索二叉樹
ltag=0：lchild為指標，指向結點左孩子；ltag=1，表示lchild為線索，指向結點直接前驅。
rtag=0：rchild為指標，指向結點右孩子；rtag=1，表示rchild為線索，指向結點直接後驅。
typedef struct TBTNode {
char data;
int ltag, rtag;
struct TBTNode *lchild;
struct TBTNode *rchild;
} TBTNode;
5.10 二叉排序樹（BST）
這部分內容主要應用在“查詢或者排序部分”。二叉排序樹或者是空樹，或者是滿足以下性質的二叉樹：
若左子樹不空，則左子樹所有值 < 根
若右子樹不空，則右子樹所有值 > 根
左右子樹各是一棵二叉排序樹
輸出二叉排序樹的中序遍歷，則該輸出序列為遞增序列。
typedef struct BTNode {
int key;
struct BTNode *lchild;
struct BTNode *rchild;
} BTNode;
5.11 平衡二叉樹（AVL）
這部分內容主要應用在“查詢或者排序部分”。
左右子樹都是平衡二叉樹，並且左右子樹的高度之差的絕對值不超過1（引入了平衡因子的概念）。
一個結點的平衡因子：左子樹高度 - 右子樹高度。取值：-1，0，1
當失去平衡的最小子樹被調整為平衡子樹之後，無需調整原有其他所有不平衡子樹，整個二叉排序樹會成為一棵平衡二叉樹。
最小子樹：以距離插入結點最近，且平衡因子絕對值大於1的結點作為根的子樹。
將失去平衡的二叉樹進行平衡調整有4種情況：LL型、RR型、LR型和RL型。
LL型：在左子樹根結點的右子樹上插入結點 -> 右旋
LR型：在左子樹根結點的右子樹上插入結點 -> 左旋 + 右旋
RR型：在右子樹根結點的右子樹上插入結點 -> 左旋
RL型：在右子樹根結點的左子樹上插入結點 -> 右旋 + 左旋
【例子4】平衡二叉樹的插入刪除和平衡調整
以關鍵字{16、3、7、11、9、26、18、14、15}構造一棵AVL樹，構造完成後依次刪除16、15、11
插入部分：
刪除部分：
5.12 B-樹與B+樹
B-樹可以看作是二叉排序樹的擴充套件，二叉排序樹是二路查詢，B-樹的多路查詢。因為B-樹結點內的關鍵字是有序的，在結點內查詢的時候除了順序查詢外，可以用折半查詢。B-樹需要滿足以下條件：
每個結點最多有m個分支（子樹）；而最少分支棵樹要看是否為根結點，根結點最少兩個分支，非根結點最少有
個分支；
有n個分支的結點有n-1個關鍵字，從左至右遞增順序排列；
各個底層是葉結點，葉結點下面是失敗結點（空指標表示）。
B+樹是B-樹的一種變形。它們之間的差別主要有：
B+樹中，n個關鍵字的結點含有n個分支，B-樹中有n+1個分支；
B+樹中葉子結點包含資訊，並且包含了全部關鍵字，B-樹的葉子只包含關鍵字（索引）
由於這裡並不是考研重點考察的部分，所以關於B+樹和B-樹的詳細操作會在後面的文章中單獨描述。
5.13 哈夫曼樹和哈夫曼編碼
哈夫曼樹是最優二叉樹，帶權路徑最短。
路徑：樹中一個結點到另一個結點分支構成的路線。
路徑長度：路徑上的分支數目。
樹的路徑長度：從根到每個結點的路徑長度之和。
帶權路徑長度：結點有權值，結點到根之間的路徑長度乘以結點的權值。
**樹的帶權路徑長度：**WPL，樹中所有葉子結點帶權路徑長度之和。
哈夫曼樹的特點：權值越大的結點，距離根結點越近。樹中沒有度為1的結點的哈夫曼樹稱為嚴格（正則）二叉樹。
哈夫曼樹的構造方法：
給定n個權值
（1）將n個權值看作只有根的n棵二叉樹，集合記為F。
（2）F中挑選兩棵根結點權值最小的（a, b）作為左右子樹，構成新樹c。
（3）F中刪除a與b，加入c。
【例子5】哈夫曼樹的構建
哈夫曼編碼：
字首編碼：任一字元的編碼都不是另一個字元編碼的字首。
而哈夫曼編碼就是長度最短的字首編碼。對構造好的哈夫曼樹，左分支表示0，右分支表示1（根據題目要求來）
【例子6】哈夫曼編碼
A、B、C、D的權值（或者出現頻率）為0.4、0.3、0.1和0.2，求哈夫曼編碼。
