容斥原理+尤拉函式
HDU :
2588:尤拉函式於gcd
1286:
4135:
2841:
2824:
1796:
1695:
3501:尤拉函式擴充套件
POJ :
1142:
2407:
3090:
總結:
容斥原理:求n在(1,m)中有幾個互質的數。
基本步驟:
1.求n的質因子
2.求質因子的組合(奇正,偶負)//佇列法,位運演算法
3.求和得(1,m)中於質因子有關的數的數量
4.m - f(m);
佇列法:
int k;//質因子數量
int e[1000];//存放質因子
int p[10000];//存放尤拉函式
void ff(int n)//求質因子
{
k = 0;
for(int i = 2;i * i <= n;i++)
{
if(n % i == 0)
{
e[k++] = i;
while(n % i == 0){n /= i;}
}
}
if(n > 1) e[k++] = n;
}
int f(int m)
{
int top = 1;
p[0] = -1;
for(int i = 0;i < k;i++)//求組合
{
int t = top;
for(int j = 0;j < top;j++)
{
p[top++] = p[j] * (-1) * e[i];
}
}
int sum = 0;
for(int i = 1;i < top;i++)//求和
{
sum += m / p[i];
}
return sum;
}
位運演算法:複雜度=1<<k (k=n的質因子數)
int k;//質因子數量
int e[1000];//存放質因子
void ff(int n)//求質因子
{
k = 0;
for(int i = 2;i * i <= n;i++)
{
if(n % i == 0)
{
e[k++] = i;
while(n % i == 0){n /= i;}
}
}
if(n > 1) e[k++] = n;
}
int f(int m)
{
int res;
int sum = 0;
int use;//記錄使用因子的個數
for(int i = 1; i < 1<<k; i++)
{
res = 1; use = 0;
for(j = 0; j < k; j++)
{
if(i & (1<<j))
{
use++;
res *= e[j];
}
}
if(use & 1) sum += m / res;//奇加偶減
else sum -= m / res;
}
return sum;
}
尤拉函式:求n在(1,n)中有幾個互質的數。
尤拉函式擴充套件:小於或者等於n的數中(n > 1),與n互
質的數總和 = euler[n] * n / 2。
重要應用於gcd結合!!
基本公式:a[n]=n * (1 - 1 / pi) * (1 - 1 / pj)...(pi,j為n的質因子)。
程式碼1:求單個n的尤拉值。//適用於n大,n少。
int f(int n)
{
int sum = n;
for(int i = 2;i * i <= n;i++)
{
if(n % i == 0)
{
sum = sum / i * (i - 1);
n /= i;
while(n % i == 0){n /= i;}
}
}
if(n > 1) sum = sum / n
return sum;
}
程式碼2:求(1,n)中所有的尤拉值a[i]。//適用於n小,n多。
void f(int n)
{
memset(p,0,sizeof(p));
p[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
if(!p[i])
{
for(int j = i;j <= n;j += i)
{
if(!p[j]) p[j] = j;
p[j] = p[j] / i* (i - 1);
}
}
}
}