紅黑樹（平衡操作詳解）

阿新 • • 發佈：2019-01-25

1.紅黑樹 紅黑樹本身也是一種二叉樹，只不過是一種比較特殊的二叉樹
二叉樹如果插入的數值是有序時，二叉樹就是非平衡的，基本跟連結串列類似了（時間複雜度O(N)）
針對這種情況，就產生了紅黑樹，這種樹在插入的過程中，會通過一系列的方式來保持樹的平衡，使其時間複雜度一直維持在O(logN)
2.紅黑樹規則 * 每一個節點不是黑色就是紅色 * 根節點總是黑色的
* 如果節點是紅色的，則它的子節點必須是黑色的（反之則不一定）
* 從根到葉節點的每條路徑，包含的黑色節點數目必須相同
3.紅黑樹修正違規操作簡介 紅黑樹之所以能夠保持平衡，是因為嚴格遵守了上述規則
在插入的過程中，如果某節點違反了以上規則，則需要進行修正，修正的方式包括：改變顏色、旋轉
1）術語

為了平衡一棵樹，需要對某些節點進行重新排列，將一些節點上升，將一些節點下降，以此來幫助樹平衡。
切記：在樹平衡操作的過程中不能破壞二叉樹的特點（一個節點的左子節點的關鍵字值小於這個節點，右子節點的關鍵字值大於或等於這個父節點）
旋轉之前先了解一些基本概念：
* 外側子孫12在18的左側，18在25的左側，它們的相對父節點位置相同，則稱新插入的節點12為外側子孫節點

38在35的右側，35在25的右側，它們的相對父節點位置相同，則稱新插入的節點38為外側子孫節點
* 內側子孫22在18的右側，18在25的左側，它們的相對父節點位置不同，則稱新插入的節點22為內側子孫節點

30在35的左側，35在25的右側，它們的相對父節點位置不同，則稱新插入的節點30為內側子孫節點

可以看到，在插入新節點之前的樹都是平衡的，但是插入新節點之後就會違反規則3，故需要對這些樹進行修正（看到子節點和父節點都是紅色的，就要想到使用旋轉來保持樹的平衡）
* 右旋轉

當以35為頂端元素進行右旋轉時，需要注意：該頂端元素必須有一個左子元素
右旋結果如下：

35下移，30上移到35的位置，20位置不變，依舊是30的左子元素 * 左旋轉

當以30為頂端元素進行左旋轉時，需要注意：該頂端元素必須有一個右子節點左旋結果如下：

30下移到左側，35上移到30的位置，45位置不變，依舊是35的右子節點
2）顏色變換

場景：當在插入的過程中遇到一個黑色節點下有兩個紅色節點，則需要進行顏色變換
示例：

當前場景下，是符合紅黑樹規則的，如果此時再插入一個節點，按照規則3，則新節點只能是黑色的，但是這樣就會違反規則4，所以對現有節點進行變色 * 把25、75兩個子節點變色為黑色 * 再新插入節點為紅色即可
操作完成之後的樹為

3）外側子孫的旋轉平衡術

針對上述這種情況，找到新插入節點12的祖父節點25，然後以25為頂端，進行右旋轉

上述這種情況，找到新插入節點38的祖父節點25，以25為頂端，進行左旋轉
4）內側子孫的旋轉平衡術

上述這種情況，找到新插入節點22的父節點18，然後以18位頂端，進行左旋轉，旋轉後結果如下

然後以22的父節點25進行右旋轉，旋轉結果如下

再修改22和18、25節點的顏色，即保持樹的正確
總結：外側子孫和內側子孫的平衡都是需要進行旋轉，不同的是外側子孫只需要進行一次旋轉即可，而內側子孫則需要進行兩次旋轉，第一次旋轉後變成外側子孫的模式，再根據外側子孫的方式來進行平衡即可
3.插入新節點 紅黑樹插入新節點的過程中，會遇到違背紅黑樹規則的情況，為了保持樹的平衡，則需要使用以上的幾種方式來保持樹平衡
下面介紹下以下幾種插入新節點過程中遇到的問題及其解決方案：
1）在下行過程中發現黑色節點下有兩個紅色子節點
為什麼這種情況是會違背紅黑樹規則呢？因為根據規則3，紅色節點下的子節點必須為黑色節點，那麼插入黑色子節點後就會違背規則4，所以碰到這種情況，需要對這三個節點進行顏色變換