LCS(Longest Common Subsequences)最長公共子序列用一般的動態規劃時間複雜度O(N^2), 但經過優化可以達到O(NlogN),下面是轉載集訓隊某人的最長遞增子序列解題報告。


 


　　先回顧經典的O(n^2)的動態規劃演算法，設A[i]表示序列中的第i個數，F[i]表示從1到i這一段中以i結尾的最長上升子序列的長度，初始時設F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。則有動態規劃方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。


　　現在，我們仔細考慮計算F[i]時的情況。假設有兩個元素A[x]和A[y]，滿足


　　　(1)x < y < i


          (2)A[x] < A[y] < A[i]


          (3)F[x] = F[y]


　　此時，選擇F[x]和選擇F[y]都可以得到同樣的F[i]值，那麼，在最長上升子序列的這個位置中，應該選擇A[x]還是應該選擇A[y]呢？


　　很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因為由於條件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]這一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，則與選擇A[y]相比，將會得到更長的上升子序列。


　　再根據條件(3)，我們會得到一個啟示：根據F[]的值進行分類。對於F[]的每一個取值k，我們只需要保留滿足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。設D[k]記錄這個值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。


　　注意到D[]的兩個特點：


　　(1)　D[k]的值是在整個計算過程中是單調不上升的。
　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。


　　利用D[]，我們可以得到另外一種計算最長上升子序列長度的方法。設當前已經求出的最長上升子序列長度為len。先判斷A[i]與D [len]。若A[i] > D[len]，則將A[i]接在D[len]後將得到一個更長的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否則，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，滿足D[j] < A[i]。令k = j + 1，則有D[j] < A[i] <= D[k]，將A[i]接在D[j]後將得到一個更長的上升子序列，同時更新D[k] = A[i]。最後，len即為所要求的最長上升子序列的長度。


　　在上述演算法中，若使用樸素的順序查詢在D[1]..D[len]查詢，由於共有O(n)個元素需要計算，每次計算時的複雜度是O(n)，則整個演算法的時間複雜度為O(n^2)，與原來的演算法相比沒有任何進步。但是由於D[]的特點(2)，我們在D[]中查詢時，可以使用二分查詢高效地完成，則整個演算法的時間複雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，D[]在演算法結束後記錄的並不是一個符合題意的最長上升子序列！


　　這個演算法還可以擴充套件到整個最長子序列系列問題，整個演算法的難點在於二分查詢的設計，需要非常小心注意。


　　


　　最長公共子序列向最長遞增子序列退化：


　　設有序列A，B。記序列A中各個元素在B 中的位子(降序排列)，然後按在A中的位置依次列出按後求A的最長遞增子序列。


　　例如：有A={a,b,a,c,x}，B={b,a,a,b,c,a}則有a={6,3,2},b={4,1},c={5};x=/;（注意降序排列）


然後按A中次序排出{a(6,3,2),b(4,1),a(6,3,2),c(5),x()}={6,3,2,4,1,6,3,2,5}；對此序列求最長遞增子序列即可