12.4 Cauchy序列及完備度量空間

習題
12.4.1-12.4.3根據提示，與提示中證明完全類似，只寫了12.4.1的。
12.4.1 根據提示
對於xn，對於任意ε，存在N，滿足如果n>N，那麼d(xn−x)≤ε，由於nj嚴格增，那麼存在M，滿足如果j > M，則nj>N，這樣d(x(nj)−x)≤ε。

12.4.2 根據提示 略
12.4.3 根據提示 略
12.4.4
對於任意ε，存在M，如果m,n>M則|am−an|≤ε/2，存在N，如果m>N則|anj−x0|≤ε/2，取L=max(M,nN)，則如果n>L，則|an−x0|≤|an

12.4.5
根據附著點的定義，對於任意M≥m和ε>0，都存在n≥N使得d(x(n),L)<ε，對於12.2.9中附著點的定義，只需要把上面的ε換成r即可，交集總不空。
題目既然問逆命題是否成立，那麼應該是不成立，但是我怎麼感覺成立呢，因為取r=1/n，對於任意n，都存在x滿足|x−L|<1/n，這就是極限點的定義呀

12.4.6
反證法，假設有2個極限點a<b，那麼存在M，m>M則|am−a|≥(b−a)/3，存在N，m>N則|am−b|≥(b−a)/3，取任意m>max(M,N),則|

12.4.7
(a)根據定義12.2.12，Y是閉集，需要證明它包含所有邊界點，根據命題12.2.10，如果x0是邊界點，那麼存在Y中序列收斂到x0，由於Y是完備的，那麼所有這樣的x0都屬於Y，也就是包含所有邊界點，也就是閉的。
(b)由於Y是閉的，那麼所有Y中收斂序列必須收斂到Y，這就是完備性的定義。

12.4.8
(a)
自反性d(xn,xn)=0
對稱性d(xn,yn)=d(yn,xn)
傳遞性d(xn,zn)≤d(xn,yn)+d(yn,zn)≤ε/2+ε/2=ε
(b)
因為x=limxn和y=limyn都存在，所以lim