多變數微積分筆記19——直角座標系和柱座標系下的三重積分
三重積分
三重積分由平面轉到了空間,但本質上與二重積分一致。f(x,y,z)是空間函式,對應的三重積分是:
其中R區域是f在定義域範圍內的圖形的體積,dv是體積積元。在二重積分中,面積積元dA = dydx,三重積分的體積積元dv = dzdydx。
考慮計算兩個曲面z = x2 + y2 和z = 4 – x2 – y2 圍成的圖形的體積。注意這裡沒有給出被積函式,兩個曲面表示了積分域。
用三重積分表示所求體積,並用z作為最內層積分:
上式處理了z軸,剩下的是dydx,這就和二重積分一樣了。現在需要關注的是所求曲面在xy軸上的投影,找出投影的邊界值。
從兩個曲面的方程可知,投影是圓,x和y的取值範圍就是圓內的所有點,問題是如何求得圓的方程?
還是從所求曲面的圖形入手,在這個曲面中z的範圍已知,就是z軸的積分域:
這就是x,y的取值範圍,也就是半徑為sqrt(2)的圓內的所有點。用二重積分表示圓的面積:
將Area和併到三重積分中:
實際上對dz的積分是曲面的高度,dydx是面積,三重積分可以看做二者的乘法。
計算過程和二重積分類似,由內而外逐一計算:
柱座標系
繼續計算上一節的三重積分將得到複雜的式子,更好的方法是使用極座標。首先保持dz不變,將dydx替換成極座標(可參考《多變數微積分筆記9——極座標下的二重積分》):
這種更簡單的方法就稱為柱座標法。柱座標的基本思想是在空間中建立一個點,用極座標代替它的xy座標,(r, θ, z)代替(x, y, z),如下圖所示:
在柱座標系中,積分將轉換成:
綜合示例
示例1
計算單位球和z > 1 – y所圍的曲面的體積。
將上圖轉換為“簡筆畫”——轉換為平面座標系:
yz座標系
容易得到z的積分域:
現在的問題是xy軸的投影是什麼,即xy的積分域是多少?
由z的積分域可以得到不等式方程:
已知0 < y < 1,所以:
示例2
計算z = x2 + y2 和z = 2y所圍的曲面的體積。
Z的積分域:
可見xy軸的投影是圓。由此可以使用柱座標系:
xy轉換為極座標後,0 ≤ θ ≤ π,rmin = 0,rmax是r關於θ的函式。
作者:我是8位的
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