昨天參悟了一天FFT,總算是理解了，今天的莫比烏斯反演也不太懂，乾脆棄療，決定來認真水一發部落格。

什麼是FFT？

FFT（Fast Fourier Transformation），即為快速傅氏變換，是離散傅氏變換（DFT）的快速演算法，它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的演算法進行改進獲得的。

FFT的作用？

主要用於加速多項式乘法（形如an x^n + a(n - 1) x^(n - 1) + …… + a1 x + a0)，同時可以優化很多與多項式乘法相近的內容，比如高精度乘法（令x為10）。

先明確幾個概念：

複數：

由兩個部分組成，實數部分，虛數部分，形如 ：a,ib(a為實數部分) 其中i^2 = -1，顯然i不是一個實數。

複數的運演算法則：

加法：實數部分相加，虛數部分相加

減法：實數部分相減，虛數部分相減

乘法：

我們來舉一個例子：

（a,ib）* (c,id)

= ac + iad + ibc + i^2bd

= (ac - bd) + i(ad + bc)

=(ac - bd,i(ad + bc))

（i ^ 2 = -1）

我們考慮用座標系來表示一下複數，

可以理解一下，對後文的一些講解會有所幫助。（注意y軸的預設單位長度為i）

由座標軸可以得出，複數（a,ib）的模長為sqrt(a^2 + b^2)

同理我麼可以得出複數的乘法運算的直觀體現，模長相乘，幅角相加。（自己可以帶入兩個(1,i1)計算來很好的理解）

多項式的係數表示與點值表示。

我們知道一個最高次項為n的多項式，有n + 1個係數，x^n……x^0的對應的係數。

如果我們將這n+1個係數構成一個n+1維的向量，顯然可以唯一的確定出一個多項式。

那麼這個向量就是係數表示式。

如果我們帶入n個數字，求算出n個對應的值，那麼這些值就構成了點值表示式。

我們同樣可以認為這個點值表示式可以唯一確定出一個多項式。

證明如下：（轉自Menci，鳴謝作者，連結詳見左側友情連結）

證明：假設命題不成立，存在兩個不同的 $n-1$ 次多項式 $A(x)$、$B(x)$，滿足對於任何 $i\in [0,n-$

令 $C(x)=A(x)-B(x)$，則 $C(x)$ 也是一個 $n-1$ 次多項式。對於任何 $i\in [0,n-1]$，有 C(x_i) = 0C(x​i​​)=0。

即 $C(x)$ 有 $n$ 個根，這與代數基本定理（一個 $n-1$ 次多項式在複數域上有且僅有 $n-1$ 個根）相矛盾，故 $C(x)$ 並不是一個 $n-1$ 次多項式，原命題成立，證畢。

插值：已知點值表達，求係數表示式

單位根：我們上文提及虛數可以在座標系內表示。我們可以在座標系內做半徑為1的圓，作為單位元，如果把單位圓分成n分，那麼最靠近x軸正半軸的一份的考上的邊即為wn = w0，即為單位根，剩下的依次為w1,w2,w3……wn-1;

其中單位根的幅角2π/n ，由尤拉公式可以得出cos2k​2n​​2π​​+isin2k​2n​​2π​​=cosk​n​​2π​​+isink​n​​2π​​

我們在求解點值表示式時，通常帶入單位根，舉個例子

如果有n項，那麼我們可以分別帶入wn^0,wn^2,wn^(n-1),這樣子便於計算，此結論是前人證明，在此不詳細敘述。

同時我們隨手得出幾個小的結論。

沒有什麼比畫圖更能說明這個兩個結論了。（結合上文提及的複數乘法）

折半定理：

\omega_{2n} ^ {2k} = \omega_n ^ kω​2n​2k​​=ω​n​k