GF(p)上的ELGamal型橢圓曲線密碼詳解（Java實現）
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橢圓曲線密碼
橢圓曲線密碼（Elliptic Curve Cryptosystem），簡稱ECC，是Neal Koblitz和Victor Miller於1985年提出的。
研究發現，有限域上的橢圓曲線上的一些點構成交換群，而且離散對數問題是難解的。於是在此群上定義ELGamal密碼，並稱為橢圓曲線密碼。
目前，橢圓曲線密碼已成為除RSA密碼之外呼聲最高的公鑰密碼之一。它密鑰短、簽名短、軟件實現規模小、硬件實現電路省電。普遍認為，160位長的橢圓曲線密碼的安全性相當於1024位的RSA密碼，而且運算速度也較快。
GF(p)上的橢圓曲線
設p是大於3的素數，且4a3
y2=x3+ax+b（a,b∈GF(p)）
為GF(p)上的橢圓曲線。
由橢圓曲線方程可得到一同余方程：
y2=x3+ax+b(mod p)（a,b∈GF(p)）
其解為一個二元組(x,y)，其中x,y∈GF(p)，表示橢圓曲線上的一個點，稱為該橢圓曲線上的解點。
無窮點O
定義一個點O(∞,∞)表示無窮點，作為0元素。
兩解點相加
設P(x1,y1)和Q(x2,y2)是解點，R(x3,y3)=P(x1,y1)+Q(x2,y2)：
1.若P為無窮點，即P=O，此時R=P+Q=Q；若Q為無窮點，即Q=O，此時R=P+Q=P；若P和Q都為無窮點，即P=Q=O，則R=P+Q=O。
2.若x1=x2且y1=y2，即P=Q，此時R=P+Q=2P，其中
3.若x1=x2而y1=-y2，此時稱Q點為P點的逆，記為P=-Q，且R=P+Q=O。
4.除上述特殊情況之外的一般情況，即P≠±Q時，R=P+Q，其中
集合E={所有的解點,無窮點O}和加法運算構成加法交換群。設G(G≠O，即G為一個解點)為一個加法群的生成元，則使得nG=G+G+...+G=O的倍數n為該加法群的階。加法群的階整除集合E的階，即n | |E|。
求橢圓曲線的所有解點
當p較小，即GF(p)較小時，可以利用窮舉的方法根據同余方程y2=x3+ax+b(mod p)（a,b∈GF(p)）求出所有解點。
具體方法為：求出x取0~p-1，x3+ax+b(mod p)的結果是否為模p的二次剩余。如果是，則一個x值可得到兩個對應的y值，也就得到互逆的兩個解點。
e.m.取p=11，橢圓曲線y2=x3+x+6
由此表得到所有的解點：(2,4)、(2,7)、(3,5)、(3,6)、(5,2)、(5,9)、(7,2)、(7,9)、(8,3)、(8,8)、(10,2)、(10,9)，再加上無窮點O共13個點的集合E加上加法運算就構成一個加法交換群。
因為集合E的階|E|=13為素數，所以該加法群的階為13。
取G=(2,7)為生成元，
G=(2,7)，2G=(5,2)，
3G=(8,3)，4G=(10,2)，
5G=(3,6)，6G=(7,9)，
7G=(7,2)，8G=(3,5)，
9G=(10,9)，10G=(8,8)，
11G=(5,9)，12G=(2,4)，
最終得到13G=O，所以加法群的階為13。
ELGamal型橢圓曲線密碼
1.選擇一個素數p，從而確定有限域GF(p)，將p公開。
2.選擇元素a,b∈GF(p)，從而確定一條GF(p)上的橢圓曲線，確定加法交換群E，將a和b公開。
3.選擇一個大素數n，並確定一個階為n的基點G(x,y)，將n和G(x,y)公開。
4.余因子h=|E|/n，將h公開。
5.隨機選擇一個整數d(0<d<n)作為私鑰保密。
6.定義Q=dG作為公鑰公開。
加密
1.隨機選擇一個整數k(0<k<n)。
2.計算X1=kG。
3.計算X2=kQ，若x2=∞，則回到第1步。
4.加密：C=Mx2(mod n)。
5.將(X1,C)作為密文發送。
解密
1.用私鑰d求出X2=dX1。
2.解密：M=Cx2-1(mod n)。
推薦橢圓曲線
NIST向社會推薦了5條素域GF(p)上隨機選取的橢圓曲線：
P-192
p=2192-264-1
a=-3
b=64210519 E59C80E7 0FA7E9AB 72243049 FEB8DEEC C146B9B1
x=188DA80E B03090F6 7CBf20EB 43A18800 F4FF0AFD 82FF1012
y=07192B95 FFC8DA78 631011ED 6B24CDD5 73F977A1 1E794811
n=FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF 99DEF836 146BC9B1 B4D22831
h=1
P-224
p=2224-296-1
a=-3
b=B4050A85 0C04B3AB F5413256 5044B0B7 D7BFD8BA 270B3943 2355FFB4
x=B70E0CBD 6BB4BF7F 321390B9 4A03C1D3 56C21122 343280D6 115C1D21
y=BD376388 B5F723FB 4C22DFE6 CD4375A0 5A074764 44D58199 85007E34
n=FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFF16A2 E0B8F03E 13DD2945 5C5C2A3D
h=1
P-256
p=2256-2224+2192+296-1
a=-3
b=5AC635D8 AA3A93E7 B3EBBD55 769886BC 651D06B0 CC53B0F6 3BCE3C3E 27D2604B
x=6B17D1F2 E12C4247 F8BCE6E5 63A440F2 77037D81 2DEB33A0 F4A13945 D898C296
y=4FE342E2 FE1A7F9B 8EE7EB4A 7C0F9E16 2BCE3357 6B315ECE CBB64068 37BF51F5
n=FFFFFFFF 00000000 FFFFFFFF FFFFFFFF BCE6FAAD A7179E84 F3B9CAC2 FC632551
h=1
P-384
p=2384-2128-296+232-1
a=-3
b=B3312FA7 E23EE7E4 988E056B E3F82D19 181D9C6E FE814112 0314088F 5013875A C656398D 8A2ED19D 2A85C8ED D3EC2AEF
x=AA87CA22 BE8B0537 8EB1C71E F320AD74 6E1D3B62 8BA79B98 59F741E0 82542A38 5502F25D BF55296C 3A545E38 72760AB7
y=3617DE4A 96262C6F 5D9E98BF 9292DC29 F8F41DBD 289A147C E9DA3113 B5F0B8C0 0A60B1CE 1D7E819D 7A431D7C 90EA0E5F
n=FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF C7634D81 F4372DDF 581A0DB2 48B0A77A ECEC196A CCC52973
h=1
P-521
p=2521-1
a=-3
b=00000051 953EB961 8E1C9A1F 929A21A0 B68540EE A2DA725B 99B315F3 B8B48991 8EF109E1 56193951 EC7E937B 1652C0BD 3BB1BF07 3573DF88 3D2C34F1 EF451FD4 6B503F00
x=000000C6 858E06B7 0404E9CD 9E3ECB66 2395B442 9C648139 053FB521 F828AF60 6B4D3DBA A14B5E77 EFE75928 FE1DC127 A2FFA8DE 3348B3C1 856A429B F97E7E31 C2E5BD66
y=00000118 39296A78 9A3BC004 5C8A5FB4 2C7D1BD9 98F54449 579B4468 17AFBD17 273E662C 97EE7299 5EF42640 C550B901 3FAD0761 353C7086 A272C240 88BE9476 9FD16650
n=000001FF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF 51868783 BF2F966B 7FCC0148 F709A5D0 3BB5C9B8 899C47AE BB6FB71E 91386409
h=1
橢圓曲線密碼的安全性
橢圓曲線密碼的安全性建立在橢圓曲線離散對數問題的困難性之上。當素數p和n足夠大時橢圓曲線密碼是安全的。這就要求橢圓曲線解點群的階要有大素數因子的根本原因，在理想情況下群的階本身就是一個大素數。
為了確保橢圓曲線密碼的安全，應當避免使用弱的橢圓曲線。所謂弱的橢圓曲線主要指超奇異橢圓曲線和反常橢圓曲線。
橢圓曲線密碼的密鑰越長，自然越安全，但是技術實現也就越困難，效率也越低。一般認為，在目前的技術水平下采用190~256位的橢圓曲線，其安全性就足夠了。
Java實現
解點類
1 import java.math.BigInteger; 2 3 public class ECPoint { 4 BigInteger x; 5 BigInteger y; 6 7 public ECPoint() { 8 x = null; 9 y = null; 10 } 11 12 public ECPoint(BigInteger x, BigInteger y) { 13 this.x = x; 14 this.y = y; 15 } 16 17 @Override 18 public String toString() { 19 if (isO()) 20 return "O"; 21 return "(" + x.toString(16) + ", " + y.toString(16) + ")"; 22 } 23 24 boolean isO() { 25 if (x == null && y == null) 26 return true; 27 return false; 28 } 29 }
兩解點相加
1 /** 2 * 兩解點相加 3 * @param p1 4 * @param p2 5 * @return 6 */ 7 ECPoint add(ECPoint p1, ECPoint p2) { 8 if (p1.isO()) return p2; 9 if (p2.isO()) return p1; 10 ECPoint p3 = new ECPoint(); 11 BigInteger lambda; 12 if (p1.x.compareTo(p2.x) == 0) { 13 if (p1.y.compareTo(p2.y) == 0) { 14 lambda = new BigInteger("3").multiply(p1.x.pow(2)).add(a).multiply(new BigInteger("2").multiply(p1.y).modPow(new BigInteger("-1"), p)).mod(p); 15 p3.x = lambda.pow(2).subtract(new BigInteger("2").multiply(p1.x)).mod(p); 16 p3.y = lambda.multiply(p1.x.subtract(p3.x)).subtract(p1.y).mod(p); 17 return p3; 18 } 19 if (p1.y.compareTo(p.subtract(p2.y)) == 0) 20 return p3; 21 } 22 lambda = p2.y.subtract(p1.y).multiply(p2.x.subtract(p1.x).modPow(new BigInteger("-1"), p)).mod(p); 23 p3.x = lambda.pow(2).subtract(p1.x).subtract(p2.x).mod(p); 24 p3.y = lambda.multiply(p1.x.subtract(p3.x)).subtract(p1.y).mod(p); 25 return p3; 26 }
倍乘
1 /** 2 * 倍乘 3 * @param p 4 * @param n 5 * @return np 6 */ 7 ECPoint multiply(ECPoint p, BigInteger n) { 8 ECPoint q = add(p, new ECPoint()); 9 ECPoint r = new ECPoint(); 10 do { 11 if (n.and(new BigInteger("1")).intValue() == 1) 12 r = add(r, q); 13 q = add(q, q); 14 n = n.shiftRight(1); 15 } while (n.intValue() != 0); 16 return r; 17 }
求所有解點
1 /** 2 * 求所有解點 3 * @return 4 */ 5 List<ECPoint> solutionPoints() { 6 List<ECPoint> r = new ArrayList<ECPoint>(); 7 List<BigInteger> l = new ArrayList<BigInteger>(); 8 for (BigInteger y = new BigInteger("1"); y.compareTo(p.divide(new BigInteger("2"))) != 1; y = y.add(new BigInteger("1"))) 9 l.add(y.modPow(new BigInteger("2"), p)); 10 for (BigInteger x = new BigInteger("0"); x.compareTo(p) == -1; x = x.add(new BigInteger("1"))) { 11 BigInteger t = x.pow(3).add(a.multiply(x)).add(b).mod(p); 12 if (isExist(t, l) != -1) { 13 BigInteger y = new BigInteger(isExist(t, l) + ""); 14 r.add(new ECPoint(x, y)); 15 r.add(new ECPoint(x, p.subtract(y))); 16 } 17 } 18 r.add(new ECPoint()); 19 return r; 20 }
1 static int isExist(BigInteger b, List<BigInteger> l) { 2 for (int i = 0; i < l.size(); i++) 3 if (l.get(i).compareTo(b) == 0) return (i + 1); 4 return -1; 5 }
求階
1 /** 2 * 求階 3 * @param p 生成元 4 * @return p對應的階 5 */ 6 BigInteger o(ECPoint p) { 7 BigInteger r = new BigInteger("1"); 8 while (! p.isO()) { 9 r = r.add(new BigInteger("1")); 10 p = multiply(p, r); 11 } 12 return r; 13 }
加密
1 /** 2 * 加密 3 * @param M 4 * @return 5 */ 6 BigInteger[] encrypt(BigInteger M) { 7 BigInteger k; 8 ECPoint X1, X2; 9 do { 10 k = new BigInteger(n.bitLength(), new Random()); 11 } while ((X2 = ec.multiply(Q, k)).x == null); 12 X1 = ec.multiply(G, k); 13 BigInteger[] C = new BigInteger[3]; 14 C[0] = X1.x; 15 C[1] = X1.y; 16 C[2] = M.multiply(X2.x).mod(n); 17 return C; 18 }
解密
1 /** 2 * 解密 3 * @param C 4 * @return 5 */ 6 BigInteger decrypt(BigInteger[] C) { 7 ECPoint X1 = new ECPoint(C[0], C[1]); 8 ECPoint X2 = ec.multiply(X1, d); 9 BigInteger M = C[2].multiply(X2.x.modPow(new BigInteger("-1"), n)).mod(n); 10 return M; 11 }
測試
測試數據
M=1234567890abcdef
k=abcdef
測試結果
P-192
P-224
P-256
P-384
P-521
參考文獻
張煥國，唐明.密碼學引論（第三版）.武漢大學出版社，2015年
GF(p)上的ELGamal型橢圓曲線密碼詳解（Java實現）