常規的斐波那契數列解法

int fib(int n) {
    if (n <= 2) {
        return 1;
    }
    else
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

要求第n個斐波那契數，子問題就是求每一個斐波那契數的前一項和前二項之和，典型的遞迴思想。

這個演算法的時間複雜度怎麼算呢？

遞迴的時間複雜度：遞迴次數*一次遞迴的基本語句執行次數

遞迴的空間複雜度：在棧空間最大的臨時變數個數

如果求f(5),畫出呼叫過程就是

              f(5)
       f(4
 
)          f(3)
    f(3)  f(2)      f(2) f(1)
f(2) f(1)

一個樹狀結構，先從f5->f4->f3-f2->f1->f2左子樹就遞迴完了。每一個結點都是一次遞迴，每一個遞迴裡只有一個基本語句，而結點書大約等與2^(N-2)常數忽略也就是2^N次遞迴呼叫，所以時間複雜度O(2^n).

空間複雜度由圖可以看出f5->f2之後遞迴f1，之後歸值給f3，這時f2和f1的空間已經回收了，所以最大的空間佔用也只是f5->f1, 即O(n)。

迴圈優化斐波那契

int fib(int n) {
    int
 
 pre = 1;
    int ppre = 0;
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ret = pre + ppre;
        ppre = pre;
        pre = ret;
    }
    return ret;
}

迴圈迭代的精髓是每次計算的結果參與下次的計算，這種解法也是最優的，時間O(n),空間O（1）.

尾遞迴優化斐波那契

int fib(int n, int ppre, int pre) {
    if (n <= 1)
        return
 
 ppre;
    return fib(n - 1, pre, ppre + pre);
}
int main()
{
    int ret = fib(5, 1, 1);
}

遞迴呼叫返回的結果總被直接返回，則稱為尾部遞迴。尾部遞迴的函式有助將演算法轉化成函式程式語言，而且從編譯器角度來說，亦容易優化成為普通迴圈。這是因為從電腦的基本面來說，所有的迴圈都是利用重複移跳到程式碼的開頭來實現的。

尾遞迴的精髓就是吸取迴圈的精華——把每次計算的結果當作引數傳遞給下一次計算。

呼叫過程如圖，時間複雜度就是O（n），如果編譯器優化空間複雜度O（1）.