20160814新增：
目錄
緒論 橢圓曲線及其在密碼學中的應用 l
1．引言 l
2．牛頓對曲線的分類
參見數學及其歷史第7章第4節牛頓的三次方程分類
一次和二次曲線是直線和圓錐截線。
由解析幾何開發的第一個新問題是對三次曲線的研究，它也是第一個被認為是真正屬於這個學科的問題。牛頓對這個問題進行了相當完全的分類（1695）[參見鮑爾(Ball,W.W.R.)(1890)的評論]
牛頓（1667）從x和y的一般三次方程ay^3+bxy^2+cx^2y+dx^3+ey^2+fxy+gx^2+hy+kx+l=0出發，經一般的座標軸變換後匯出一個有84項的方程，然後證明後者可以簡化為下述形式的方程之一：
Axy^2+By=Cx^3+Dx^2+Ex+F,
xy=Ax^3+Bx^2+Cx+D,
y^2=Ax^3+Bx^2+Cx+D,
y=Ax^3+Bx^2+Cx+D.
接著，牛頓按照[等號]右邊[多項式]的根將曲線分成72類（遺漏了6類）。他的文章沒有給出詳細的證明；斯特林（1717）補上了證明，其中還包括牛頓忽略了的4類。牛頓的分類因缺少一般的分類原則而遭到後世某些數學家，如尤拉的批評。人們肯定需要一個原則，來降低分類的複雜性。實際上，這樣的原則已隱含在牛頓（1667）第29節“影子（即投影）生成的曲線”的一個隨意的評註中。該原則將三次曲線約化為5種類型，見圖71~75[此圖選自牛頓出版於1710年的文章的英文譯本；參見懷特塞德(Whiteside,D.T.)(1964)].
讀者可能想知道最熟悉的三次曲線y=x^3是這5類中的哪一類！回答是：它等價於牛頓的圖75——有尖點的圖形。
3．橢圓曲線與橢圓積分
4．阿貝爾·雅可比·艾森斯坦和黎曼
5．橢圓曲線的加法 1l
6．橢圓曲線密碼體制
第3章 維爾斯特拉斯函式
12．維爾斯特拉斯函式ζ(u)
參見橢圓函式及其應用第3章擬橢圓函式第1節Zeta函式ζ(u)
擬橢圓函式從嚴格的定義上看均不屬於橢圓函式。
在有的書籍中，引入第二種和第三種橢圓函式的概念。而函式σ屬於第三種橢圓函式。參見沈睿：橢圓函式概論，1982,P.101-109。
ζ(u)是由橢圓函式求積分而得到的。
ζ(u)是奇函式，不是橢圓函式，不具有周期性，既無週期2ω_1，又無週期2ω_2。
13，維爾斯特拉斯函式σ(u)
參見橢圓函式及其應用第3章擬橢圓函式第2節Sigma函式σ(u)
σ(u)與其他擬橢圓函式存在簡單的關係。
當積分下限固定時，∫ζ(u)du不是積分上限的單值函式。可將其定義為一個函式的對數，該函式即σ(u)，寫作lnσ(u)=∫[0,u]ζ(u)du或ζ(u)=σ'(u)/σ(u)
σ(u)是整函式，又是奇函式。
14．用函式σ(u)或用函式ζ(u)表示任意的橢圓函式
15．維爾斯特拉斯函式的加法定理
16．用函式P及P'表示各橢圓函式
參見橢圓函式及其應用第2章二階橢圓函式第1節衛爾斯特拉斯函式
P是二階橢圓函式，是偶函式。
P'是三階橢圓函式，是奇函式。
17．橢圓積分
第4章 西塔函式
參見橢圓函式及其應用第3章擬橢圓函式第4節Theta函式、第5節衛爾斯特拉斯函式與θ函式
Theta函式具有一個實數週期，而且可以表示為收斂很快的級數式。
Theta函式是由雅可比定義的，最初他在1829年引入Theta函式Θ(u)和H(u)，用的是規一化格陣2K,2iK'。後來雅可比看到用v=u/2K作為變數的優越性。
這樣就得到了4個Theta函式。
具有特徵參量a，b的一般Theta函式的理論是埃爾米特繼雅可比之後於1858年引入的。
18．西塔函式的無窮乘積表示
19．西格瑪函式與西塔函式的關係
20．函式θ(u)及θ(u)的單級數展開式
21．量e1,e2,e3用西塔函式零值的表示式
22．西塔函式的變換

 20121225問：已知g_2,g_3,求T,T',tau？
半週期w_1(g_2,g_3),w_3(g_2,g_3)
w_1(-1,0)=[(1+i)/(4sqrt(2pi))]Γ(1/4)^2，w_3(-1,0)=[(-1+i)/(4sqrt(2pi))]Γ(1/4)^2
w_1(1,0)=[1/(4sqrt(pi))]Γ(1/4)^2，w_3(1,0)=[i/(4sqrt(pi))]Γ(1/4)^2
w_1(0,1)=[1/(4pi)]Γ(1/3)^3，w_3(0,1)=[(1+sqrt(3)i)/(8pi)]Γ(1/3)^3
cout<<detail::g2(fcomplex(0,2),fcomplex(1,0))<<endl;//(129.987,0)
cout<<detail::g3(fcomplex(0,2),fcomplex(1,0))<<endl;//(284.355,-0)
//相應於半週期{ω,ω’}對魏爾斯特拉斯橢圓函式給出不變數{g_2,g_3}
輸入：WeierstrassInvariants[T/2=ω=1,T'/2=ω'=2i]
輸出：g_2=8.12422,g_3=4.44305
  cout<<detail::g2(fcomplex(0,2),fcomplex(2,0))<<endl;//(8.12422,0)
  cout<<detail::g3(fcomplex(0,2),fcomplex(2,0))<<endl;//(4.44305,-0)
考慮模形式g_2=12.7695,g_3=-4.59211下的雙週期函式P(z,g_2,g_3)：
P(z=0.5,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=
P(z=0.5,tau=0.859743i,w_1=2.156516)=
P(z=0.5,w_1=2.156516,w_2=1.854049i)=4.151395（模形式g_2=12.7695,g_3=-4.59211下的雙週期函式）
tau=w_2/w_1=0.859743i
P(z=0.5,tau=0.859743i,w_1=1)=7.294863（另外一組模形式下的雙週期函式）
P(z=0.5,tau=0.859743i,w_1=8.626062)=4.000621（另外一組模形式下的雙週期函式）
P(z=-8.5,w_1=2.156516,w_2=1.854049i)=62.934325(錯誤值62.925814)=P(z=-8.5,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9269
按照c++和jsp計算的結果：
最小實週期T=2.156516，最小虛週期T'=1.854049i
相差1個實週期T=2.156516：P(z=-6.343484)=62.934325
jsp：P(z=-6.343484,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9287
相差1個虛週期T'=1.854049i：P(z=-8.500000+1.854049i)=62.934325-0.000998i
jsp：P(z=-8.5+1.85405i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9269+0.0014i
相差1/2個實週期T/2=1.078258：P(z=-7.421742)=1.636863
jsp：P(z=-7.421742,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=1.63687
相差1/2個虛週期T'/2=0.9270245i：P(z=-8.500000+0.9270245i)=-1.819202
jsp：P(z=-8.5+0.927025i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=-1.81919-0.10^(-5)*i
相差4個實週期4T=8.626062：P(z=0.126062)=62.936321(錯誤值62.925814)=P(z=0.126062,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9363
相差4個虛週期4T'=7.416195i：P(z=-8.500000+7.416195i)=62.934325+0.000998i(錯誤值62.925814)
jsp：P(z=-8.5+7.4162i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9369+0.0064i
相差2個實週期2T=4.313031：P(z=-4.186969)=62.935323(錯誤值0.098298)
jsp：P(z=-4.186969,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9363
相差2個虛週期2T'=3.708098i：P(z=-8.500000+3.708098i)=62.934325(錯誤值-0.121051)
jsp：P(z=-8.5+3.7081i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9269+0.0027i
20121225注意：P函式、模形式g_2、g_3等數學函式的c++和jsp實現中，引數w_1,w_2是指最小實週期T，最小虛週期T'，即P(z,w_1,w_2)=P(z,T,T')。
w_1=T,w_2=T'這裡指週期，不是指半週期：
P(z=0.5,w_1=8.626062=T,w_2=7.416195i=T')=4.000621
P(z=0.5,k=0.8660254)=P(z=0.5,w_1=2.156516=T,w_2=1.685750i=T')=4.197128(正確值)!=4.013195(錯誤值)
問：構造以K(e=sqrt(3)/2)和K'(e=sqrt(3)/2)為最小實、虛週期的橢圓函式？
①計算自變數為tau=w_2/w_1=0.781701i、0.859743i時的模形式g_2,g_3的值：
g2(tau=0.781701i,w1=2.156516)=(17.3333,0)
g3(tau=0.781701i,w1=2.156516)=(-10.3704,0)
g2(tau=0.781701i,w1=1)=(374.88,0)
g3(tau=0.781701i,w1=1)=(-1043.06,0)
g2(tau=0.859743i,w1=1)=276.176
g3(tau=0.859743i,w1=1)=-461.88
g2(tau=0.859743i,w1=2.156516)=12.7695
g3(tau=0.859743i,w1=2.156516)=-4.59211
已知：
T=w_1=1,T'=w_2=tau=0.859743i=>g_2=276.176，g_3=-461.88
T=w_1=2.156516,T'=w_2=1.854049i=>g_2=12.7695,g_3=-4.59211
20121225觀察知：
(g_2)'/(g_2)=1/21.627784956341281960922510669956=1/2.156516^4=((T)/(T)')^4
(g_3)'/(g_3)=1/100.58121430018009150477667129054=1/2.156516^6=((T)/(T)')^6
所以g_2,g_3是-4次和-6次齊次函式，即g_2(λT,λT')=λ^(-4)g_2(T,T')，g_3(λT,λT')=λ^(-6)g_3(T,T')。
定義：把函式的自變數乘以一個因子，如果此時因變數相當於原函式乘以這個因子的冪，則稱此函式為齊次函式。
問：
實週期T=w_1=8.626062，虛週期T'=w_2=7.416195i=>g_2=？，g_3=？
②計算自變數為tau=w_2/w_1=0.781701i、0.859743i時的模函式的值：
//fcomplex tau=fcomplex(0,0.859743);
  fcomplex tau=fcomplex(0,0.781701);
  fcomplex retJ=detail::KleinInvariantJ(tau,fcomplex(1.0,0));
  cout<<retJ<<endl;//(2.26029,0)
J(0.781701i)=2.26029
克萊因不變模函式的c++/jsp計算結果：
J(i+2)=J(i+1)=1
問：J(tau)的零點？例如g_2=0,g_3=1
J(tau=i+0)=J(tau=i+1)=J(tau=i+2)=1----雙紐線情形g_2=1,g_3=0；偽雙紐線情形g_2=-1,g_3=0
J(tau=i+0.859743i)=69.1755
J(0.5i)=J(tau=1+2i,w1=1)=J(tau=2i,w1=1)=(166.375,8.46083e-014)
J(tau=0.859743i)=(1.37635,0)
J(i)=J(1/2+i/2)=1
J(sqrt(2)i)=(5/3)^3
jsp計算結果：

http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp
J(tau=0.859743i=i-0.140257i)=1.37635
J(tau=i-0.5i)=(tau=2i)=166.375
J(tau=i+4.31303)=0.201483-0.121554i
J(tau=i-0.218299i)=2.26029
cout<<detail::K(fcomplex(0,1))<<endl;//(1.31103,0)=K(i)=ω/2
模形式理論中有一個特殊的函式叫j不變數，它可以展開成如下的傅立葉級數，其中每個係數都是整數：
j(z)=1728J(z)=1/q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+…,q=e^(2piiz)
c(n),τ(n)是兩個十分重要的數論函式。
它們開頭幾個值是
c(0)=744,
c(1)=196884,----第二個傅立葉係數196884，正好是Griess代數的維數，也就是魔群的最小忠實線性表示的維數加1。
c(2)=21493760,
這僅僅是個巧合，還是有某種內在的聯絡？
計算克萊因不變模函式J(tau)的vbs程式碼(20130707說明：t<1時計算出的J=j/1728值是錯誤的，例如J(0.5i))：
'j(z=ti)=1/q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+…,q=e^(2piiz)
't=1  '1727.99224869938 .999995514293623
't=1.414  '7990.34481921946 4.624042140752
'WScript.Echo (5/3)^3  '4.62962962962963
't=2  '287496 166.375
'WScript.Echo (11/2)^3 '166.375
't=0.5 '189766.45833945 109.818552279774
t=1.5  '13151.6766830477 7.61092400639335,根據Klein不變模函式J(tau)的性質，有J(1.5i)=J(0.5i)=J(2i)=(11/2)^3=166.375，(20130707說明：J(1.5i)=7.610924,J(0.5i)=J(2i)=(11/2)^3=166.375)
q=exp(-atn(1)*8*t)
j=1/q+744+196884*q+21493760*(q^2)+864299970*(q^3)+20245856256*(q^4)
WScript.Echo j,j/1728  
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【內容提要】
本書從一道美國加州大學洛杉磯分校（UCLA）博士資格考題談起，詳細介紹了橢圓函式以及模函式的相關知識。全書共分為三章，分別為：橢圓函式、模函式、橢圓函式與算術學。
本書可供從事這一數學分支或相關學科的數學工作者、大學生以及數學愛好者研讀。
【目錄】
第1章  橢圓函式  ∥1
1.1  引言  //1
1.2  二重周期函式及橢圓函式之通性  //5
1.3  魏爾斯特拉斯橢圓函式  //25
1.4  橢圓函式之應用  //54
1.5  雅可比橢圓函式  //67
1.6  雅可比橢圓函式與魏爾斯特拉斯橢圓函式之關係  //114
第2章  模函式  //123
2.1  等價週期偶  //123
2.2  等價平行四邊形網  //126
2.3  絕對不變數J  //127
2.4   函式J(tau)在正半平面中為正則  //128
2.5  J(tau)之基本性質   //128
2.6  線性代換  //129
2.7  模群  //131
2.8  模群之基本區域  //133
2.9  對J(tau)之應用  //139
2.10  基本等式    //142
2.11  J(tau)為k^2的函式之式  //143
2.12  J(tau)在tau=i∞鄰近之展開  //144
2.13  J(tau)之實值  //144
2.14  在橢圓函式上之應用  //147
2.15  模函式  //148
2.16  橢圓積分的週期之比為其模之函式  //153
第3章  橢圓函式與算術學  //155
3.1  阿貝爾的復形乘法  //158
3.2  克羅內克  //161
3.3  次數為四和三的愛森斯坦因公理  //164
3.4  傅立葉級數和q-微積分   //169
3.5  高斯求和與θ-函式  //174
3.6  克羅內克的有限方程式與費馬等式  //176
3.7  丟番圖方程式  //180
3.8  結論  //181
編輯手記  //183
【編輯手記】
《文匯報》原總編輯和主筆徐鑄成曾說：“錢玄同先生每次上課時，從不看一眼究竟學生有無缺席，用筆在點名簿上一豎到底，算是該到的學生全到了.也從不考試，每學期批定成績時，他是按點名冊的先後，60分，61分……如果選定課程的學生是40人，最後一個就得100分.40人以上呢？重新從60分開始.”從數學角度說錢先生點名是用的常數列，評分用的是週期數列,當然也是周期函式.
本書所論及的橢圓函式也是一種周期函式.不過它是雙週期函式，所以世界上第一本橢圓函式方面的專著就叫做《雙週期函式理論》，出版於1859年，在數學分支的分類中隸屬於代數函式論.
代數函式論現在已經完全淹沒在現代數學的汪洋大海之中，很少有人提起了.在1936-1937年度清華大學算學部的選修課程表中序號為1的就是橢圓函式，學分是3個，應預習之學程為分析函式，再後來就少見了.而在19世紀，它卻處於數學的中心，涉及橢圓積分及橢圓函式、阿貝爾積分及阿貝爾函式的問題，幾乎是評價數學家成就的試金石.許多大數學家之所以在當時了不起，並非由於我們現在所認為的那樣，是對數學的一些普遍問題、基礎問題提出了正確的觀點，而是由於他們在這個領域做出了傑出工作.從高斯、阿貝爾、雅可比、埃爾米特到克萊因、龐加萊，無不因在這個領域有突出貢獻而聞名.而黎曼及魏爾斯特拉斯更是因為他們對阿貝爾函式所做的工作而獲得他們的名聲和職位，而並非如現在人們所認為的那樣是他們在幾何基礎、複變函式論、數論、分析基礎等方面的工作.不過，從19世紀末開始，由於數學追求一般性、普遍性、抽象性，代數函式論從分析上歸入複變函式論，從幾何上歸入代數幾何學，到20世紀中葉，經一般域論、代數拓撲乃至數論的分解，它已經完全代數化，並隨同一般域上的代數曲線論進入了交換代數的範疇.
英國公開大學數學學院的Jeremy Gray在《The Mathematical Intelligencer》(Vol 7.No.3.1985)上發表了一篇題為《一百年前誰會贏得菲爾茲獎》的文章.他在文章中列舉了若干位假若菲爾茲獎如果早100年頒發會獲獎的數學家.
第一位是埃爾米特，他在藉助拉梅（Lamé）方程理論將橢圓函式用於應用數學方面是一位先驅.
第二位是庫默爾，他對數學的首要貢獻，當然是他的代數理論.但在19世紀30年代，他還在微分方程和橢圓函式上有所成就.
第三位是克羅內克，他家世富有，在大學教課只是因為他身為柏林科學院院士的責任感.弗羅比尼烏斯（Frobenins）在1891年對克羅內克的讚詞中，認為克羅內克涉獵太泛了，以至於他在他的每個研究領域都達不到舉世無雙的水平.當然，他的主要興趣還是橢圓函式和數論.
第四位是魏爾斯特拉斯，他直至1878年也幾乎沒發表文章，他在討論班講分析的各個分支的課，最主要的內容是關於橢圓函式和阿貝爾函式的.
第五位是凱萊，他跟埃爾米特和富克斯一樣，並不看好克萊因所發展的新思想，更偏好橢圓函式理論中的傳統思想.
第六位是一個年輕的法國人皮卡(Picard，生於1856年)，事實上，到1881年底為止，皮卡已發表了34篇論文，把埃爾米特關於拉梅方程的思想發展成為擬橢圓函式的理論.
以下論及的更為詳細的關於橢圓函式方面的歷史脈絡及其與現代數學的淵源材料多取自於胡作玄先生的《近代數學史》，說起來令人奇怪，近代數學史貫而通之，能夠發表點自己觀點的並不是數學科班出身的人或專攻現代數學史的研究人員，反倒是早年畢業於北京大學化學系的胡作玄先生.胡先生點評數學家，論及某項數學成果在歷史中的地位及作用精道準確，絕非一般人認為的“無知者無畏”，而是經過在國外研讀大量典籍之後的融會貫通.
19世紀初，數學的中心課程集中於橢圓函式及其推廣上，它不僅是基本的非初等函式，直接導致代數函式論及代數幾何學的發展，而且在數論和數學物理上都有著廣泛的應用.
從歷史上講，橢圓函式來源於橢圓積分，是通過橢圓積分反演得到的。這種積分出現在求橢圓弧長的問題中，因此而得名.但實際上它並不侷限於求橢圓弧長的問題，求雙曲線及雙紐線等的弧長同樣也遇到橢圓積分.在歷史上橢圓是一直令人著迷的，比如19世紀最偉大的理論物理學家麥克斯韋，在15歲寫出了他的第一本著作，就是關於以幾何方法畫橢圓形的.在阿貝爾首先把橢圓積分反演得出橢圓函式之前，一般也把橢圓積分稱為橢圓函式或橢圓超越函式，這不過是歷史的插曲.
橢圓積分自然出現在求橢圓及雙曲線的弧長、單擺的週期、彈性細杆的彎曲等問題當中，但求積分遇到極大困難.萊布尼茨在研究積分法時，曾設想一個“綱領”，即把積分∫f(x)dx都歸結為“已知函式”的“封閉形式”，也就是求出由初等函式以有限的加、減、乘、除形式表現出來的函式g(x)，使g′(x)=f(x).當時所知道的函式無非是現在所說的初等函式，即代數函式（多項式及有理分式）、指數函式及三角函式以及它們的反演.在實現萊布尼茨綱領上，橢圓積分是數學家所碰到的第一個障礙，經過當時數學家的努力，還是不能把橢圓積分表成上述的理想形式，以致1694年雅各布?伯努利就猜想這項任務不可能完成.這個猜想直到1833年才由法國數學家劉維爾證明.他證明，包括橢圓積分在內的一大類積分均不可能表為初等函式.在這期間，數學家開始考慮用分析方法即各種無窮表示式來表示它，而具體到橢圓積分，則更著重於研究其性質.
由於一般的橢圓積分較為複雜，最早研究的一類是所謂雙紐線積分。1694年雅各布·伯努利由於雙紐線積分簡單、漂亮而單獨提出來予以考慮。這是最簡單的橢圓積分，因此成為研究橢圓積分的出發點。
橢圓積分的歷史起點一般公認為1718年，由義大利數學家法納諾開始研究，他發現了雙紐線積分的倍弧長公式.1751年12月23日尤拉在得知法納諾的結果之後，導致他於1761年把倍弧長公式推廣成雙紐線積分的加法定理，即得出法納諾關係。後來，雅可比把1751年12月23日這一天稱為“橢圓函式的生日”。
雙紐線積分雖然是研究一般橢圓積分的起點，但尤拉的加法定理並不能輕易地推廣到一般橢圓積分之上.一般橢圓積分的研究主要來自勒讓德.
勒讓德關於橢圓函式方面的工作從1783年起持續了半個世紀.首先他在1786年發表兩篇論文，1793年發表長篇論文，然後寫了《積分練習》（Exercises de calcul integral,3卷,1811,1817,1826）以及《橢圓函式論》（3卷，1825，1826，1828）.其中，他對橢圓積分進行了系統研究.
同年，阿貝爾首先對實值u,v的橢圓函式證明加法定理.通過加法定理，他把橢圓函式的定義推廣到復值z=u+iv.
同時，阿貝爾還發現橢圓函式的重要性質——雙週期性，即存在兩個週期，其比為非實數.這成為後來橢圓函式研究的出發點.1835年雅可比證明任何單變數單值有理型（即亞純）函式不可能多於兩個週期，且週期比必為非實數.1844年劉維爾以此為出發點，建立系統的雙週期函式理論.他還依據柯西的留數理論證明，在一個週期平行四邊形內極點的數目有限，這些極點的階數之和被稱為橢圓函式的階數；在一個週期平行四邊形內沒有極點的橢圓函式是常數；橢圓函式在任何一個週期平行四邊形內極點的留數之和恆為0；在一個平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個第一類橢圓積分.
勒讓德在他的書中得出一系列加法公式及變換公式，以及不同引數n的第三類積分之間的關係.在《橢圓函式論》第2卷中，勒讓德發表了第一個橢圓積分表，它也是今天同類表的基礎.
高斯對橢圓積分也有貢獻，他從1791年起就研究所謂算術幾何均值，也就是兩個正數a及b經過如下運算所形成的兩個序列{a_n}和{b_n}的共同極限
a_0=a,  b_0=b
 ,  
他記為agM(a,b).1799年5月30日他在日記中寫道：
“我們已經確定1和sqrt(2)的算術幾何平均與π/ω相重到11位；這個事實的證明肯定將開闢一個全新的分析領域.”
勒讓德搞了一輩子橢圓積分，卻從來沒有想到把橢圓積分反演得出橢圓函式，以致他在晚年不無辛酸地讚美阿貝爾及雅可比的工作.當時有三位數學家考慮到反演問題，他們是高斯、阿貝爾及雅可比.
高斯得出雙紐線函式，但其結果直到他去世後才發表.阿貝爾在1823年已經有了反演的想法，1827年發表第一篇論文.同年，雅可比開始研究橢圓函式，並寫了一篇沒有證明過程的論文.其後，兩人都發表了這方面的論文，特別是雅可比在1829年出版的《橢圓函式論新基礎》（Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum）成為橢圓函式論的奠基性著作.在此之前，勒讓德在《橢圓函式論》的補篇（1828）中介紹了阿貝爾及雅可比的工作.
阿貝爾和雅可比在橢圓函式方面的貢獻很多，主要有以下幾個方面：
（1）引進雅可比橢圓函式.
（2）由實值擴充套件到復值，並發現雙週期性.
（3）給出橢圓函式的表示，並建立θ函式理論.
雅可比在《橢圓函式論新基礎》一書中建立了θ函式理論，從而給橢圓函式一個系統的表示.特殊的θ型函式最早是雅各布?伯努利在《猜度術》（1713）中引進的，他研究過∑[n=0->∞]m^(n^2)，∑[n=0->∞]m^(n(n+1)/2)，∑[n=0->∞]m^(n(n+3)/2)，它們都是θ函式.尤拉在《無窮分析引論》（1748）中為研究分拆函式∏(1-q^n)而引進第二變元ζ，得到∏[∞](1-q^nζ)^(-1)，它也是θ函式.其後，它出現在傅立葉的《熱的分析理論》（1822）中.但只有雅可比把θ函式同橢圓函式聯絡起來，並在數論上加以應用.θ函式是單週期的整函式，可以用收斂很快的級數來表示，因此在橢圓函式計算中是最好的工具.
雅可比早在1828年先由橢圓函式論得出四種θ函式的變換公式，但泊松已經於1823年得到其中一種，且其他三種不難由初等代數得到.雅可比最重要的貢獻在於把橢圓函式用θ函式表示，然後由橢圓函式得出θ函式的無窮乘積表示.橢圓函式及θ函式有了明顯表示式之後，很容易推出它們的性質、變換公式、微分方程等，而且為其廣泛應用開闢了道路.從歷史上講，雅可比最早用的是Θ函式及H函式，後來改為四種θ函式，其後不同數學家用的記號也有些差別，理論上主要是魏爾斯特拉斯的記號，而雅可比的記號在應用上由於方便、實用，直到現在仍被廣泛使用.
θ函式有許多推廣，埃爾米特於1858年定義θ級數θu,v，而向高維推廣則為阿貝爾函式論提供了工具.
到1838年，雅可比橢圓函式論已經建立，並在各方面有著廣泛應用.然而從理論上講，橢圓函式的完整理論是魏爾斯特拉斯建立的，他從1857年冬季學期起，開始在柏林大講授橢圓函式論課程，他的講義內容由於學生的傳播而逐漸公之於世.魏爾斯特拉斯最早發表橢圓函式論文於1882~1883年分四篇發表在《柏林科學院會報》上，他的講演經施瓦茨整理於1893年出版，書名為《橢圓函式應用的公式及定理》（Formeln und Lehrsatze zum Gebrauche der elliptischen Funkionen）.他以前的研究由於他的《魏爾斯特拉斯全集》第一卷（1894）及第二卷（1895）的出版而公之於世，特別是1875年他在柏林大學的就職演講已經包括了體系的概要.魏爾斯特拉斯的橢圓函式理論現在已成為標準的表述.從歷史上看，在他之前，許多數學家也有一些類似的不同於雅可比橢圓函式的考慮.
法國數學家劉維爾在1844年最早把雙週期性作為刻畫橢圓函式的出發點，他受到柯西的複分析理論，特別是留數演算的影響，從複分析的大視野來觀察橢圓函式.他把在有限複平面上亞純的雙週期函式定義為橢圓函式，則複平面可劃分為週期平行四邊形.他證明，在一個週期平行四邊形內沒有極點的橢圓函式是常數，這是一般劉維爾定理的特殊情形.他還證明，在兩極點情形，橢圓函式在任一週期平行四邊形的極點處留數之和為0，一般情形是埃爾米特在1848年證明的.他證明，任一橢圓函式在一週期平行四邊形內取任何值的次數均相同；零點之和與極點之和的差等於一個週期.劉維爾在法蘭西學院講的橢圓函式課程為他的學生布瑞奧及布蓋所吸收，他們合寫的書《雙週期函式理論》(Theorie des fonctions doublement periodiques)於1859年出版，是橢圓函式論的第一部專著，1875年出第二版時，篇幅由原來的342頁翻了一番，多達700頁，這反映出理論進步之快.不過，劉維爾對這兩個學生極為不滿，認為他們剽竊自己的理論，對此魏爾斯特拉斯也有同感.
英國數學家凱萊從1845年起就發表橢圓函式的論文，一直持續了半個世紀.他的風格保守，十分傾向於具體計算.只是在1845年的論文中給出橢圓函式的一個雙重無窮乘積表示，而不是像以前從橢圓積分反演得來，他具體從雙重無窮乘積來表示雅可比橢圓函式.凱萊的研究收入在他唯一出版的著作《橢圓函式》（1876）中.
19世紀中葉，對橢圓函式的研究主要集中在德國，除了雅可比和他的學生之外，愛森斯坦因是橢圓函式的主要研究者，他更多是從數論出發，但是他的論文沒有引起很多注意，直到19世紀80年代才為克羅內克所發展.愛森斯坦因批評阿貝爾和雅可比通過橢圓積分的反演以及通過加法定理復化既不自然也不嚴格.他在1847年發表關於橢圓函式的論文，使用雙重無窮乘積定義橢圓函式.他的研究為克羅內克所繼續，特別是他在晚年的一系列著作，其工具是二重級數.他們的工作都與數論相關.
儘管凱萊及愛森斯坦因等人早已有不從橢圓積分的反演來定義橢圓函式的想法，但是橢圓函式的系統理論公認為魏爾斯特拉斯所建立.也正是由這時開始，橢圓函式論正式作為解析函式論的一個特殊情況來處理.從19世紀末起，在許多解析函式論的著作中，後面一大半是論述橢圓函式及其推廣的.隨著時間的流逝，橢圓函式這部分越來越薄，最後趨向於0.這導致現代大學生對這類不僅在歷史上而且到現在仍極為重要的函式一無所知.
在橢圓函式與模函式領域出現的大家很多，但阿貝爾是一個繞不過去的人物.
梁啟超曾說：“古今中外論濟世救人者，耶穌之外，墨子而已.”
從此等口氣談論橢圓函式這一分支的建立，我們可以說,古今中外論橢圓函式與橢圓積分者，高斯之外，阿貝爾而已.
這個挪威青年有兩大不幸，一是身染肺病，二是結果不被承認.如果晚生150年肺結核便有藥可醫，但成果被忽視既使到今天也難免，例如德布蘭吉斯證明的比勃巴赫猜想.
阿貝爾積分和阿貝爾函式是橢圓積分、超橢圓積分以及橢圓函式、超橢圓函式的推廣，1826年10月30日，他把題為《論很廣一類超越函式的一般性質》（Memoire sur une properiete generale d'une classe trs etendue de fonctions transcendants）的論文呈遞給巴黎科學院，但是負責評審論文的柯西連看也沒看，就把它丟在一邊.此文直到1841年才發表，而其中證明的阿貝爾定理的特殊情形於1826年發表.
橢圓積分及其反演到1832年已有一個相當滿意的解答，而一般的阿貝爾積分及其反演問題卻遇到極大困難.
雅可比沒能解決這個問題，他只是在1832年證明反函式也具有一個代數加法定理，並在1834年研究v=3的特殊情形，即可以簡化為橢圓積分的阿貝爾積分的反演.這時他已意識到需要多變元的多重周期函式來代替θ函式，一般超橢圓積分的分類問題在1838年由雅可比的學生黎西羅(Friedrich Julius Richelot,1808-1875)解決.他著有《橢圓函式》、《阿貝爾曲體》等專著.不過他廣為人知的工作是用尺規作出了正257邊形，稿紙長達80頁之多.
雅可比反演問題的最簡單情形（v=3）由哥貝爾(Adolph Gopel,1812-1847)在1847年對特殊情形解決，一般情形由羅森哈恩(Johann Georg Rosenhain,1816—1887)在1850年完全解決.他們都是雅可比的學生，解決途徑都是沿著雅可比所指出的對兩變元情形適當推廣θ函式.
對於一般情形，魏爾斯特拉斯試圖解決第一類超橢圓積分的反演問題.在19世紀40年代中期，他還是中學教師時，他已經花費很大力氣研究這個問題.第一篇論文發表在1848—1849年布勞恩斯伯格中學的年度報告上，當然，它沒有引起注意.在1849年7月17日的手稿中，他已得出這個問題的主要結果，即引進類似於θ函式的輔助函式，並把反函式表為這種收斂冪級數之商，其詳細內容於1853年寄給《克萊爾雜誌》，並於1854年發表.這篇論文使他名聲大振，他獲得1855-1856年度的休假並進行專門研究，發表了1856年的論文，這兩篇論文直接將他迎進了柏林大學的大門.1856年的論文詳細敘述了對超橢圓積分的雅可比反演問題的解決過程.這次他把它表述為微分方程的解，他聲稱他的方法對一般的阿貝爾積分也適用，並於1857年夏天向柏林科學院提交了詳細的報告，但在印刷過程中他撤回了這篇論文.幾周後，黎曼發表了由四部分組成的長篇大論文《阿貝爾函式論》，兩人用的方法不同，但結果完全一樣，他後來重新寫了這篇論文，並從1869年開始用於他的講課之中.
從阿貝爾到黎曼，阿貝爾函式論這個領域進展不大，但從歷史上看，伽羅華在1832年寫的最後的書信中卻包括許多代數函式論的內容，他敘述了許多定理，不過沒有任何證明.其中包括後來黎曼完成的把阿貝爾積分分成三類的結果，他還知道第一類積分的週期數目與第一類和第二類線性獨立積分數目之間的關係.他還給出第三類積分的參量與獨立變數之間的互換公式.不過在他以前的論文中看不到有關這些結果的痕跡，這種天才的閃光經過20年卻沒人能理解，只有在另一位天才——黎曼那裡才引起另一次突破，但似乎沒有什麼證據說明黎曼知道伽羅華的這封信.
關於阿貝爾函式，黎曼發表了兩篇文章：一是《阿貝爾函式論》(Theorie der Abel'schen Functionen)，一是《論θ函式的零點》（uber das Verschwinden der Theta-Functionen）,這是前一篇的續篇.前一篇由四部分構成，是他生前發表的最深刻且有豐富內容的著作.
（1）阿貝爾積分的表示及分類，即對由
f(z,ω)=0
定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進行分類.第一類阿貝爾積分，在黎曼曲面上處處有界，線性獨立的第一類阿貝爾積分的數目等於曲面的虧格p，如果曲面的連通數
N=2p+1
這p個阿貝爾積分被稱為基本積分.
第二類阿貝爾積分，在黎曼曲面上以有限多點為極點.
第三類阿貝爾積分，在黎曼曲面上具有對數型奇點.
每一個阿貝爾積分均為上三類積分的和.
黎曼還引進相伴曲面觀念.黎曼面上的有理函式也可藉助相伴曲面來表示.
（2）黎曼-洛赫定理.
這是代數函式論及代數幾何學最重要的定理.黎曼得到的是黎曼不等式，是黎曼-洛赫定理的原始形態，黎曼研究的出發點之一是黎曼面上指定單極點的亞純函式的數目.他證明，以μ個給定的一般點為極點的單值函式形式μ-p+1維線性簇，但對於一組特殊的m個點，維數l還要增加，因此黎曼得出黎曼不等式
l≥μ-p+1
黎曼的學生洛赫（Gustav Roch,1839-1866）補充了一項，使之成為等式，此即代數函式論及代數幾何學中心定理.
1882年出現兩篇關於代數函式論的大論文，一篇是戴德金和H?韋伯合寫的，一篇是克朗耐克寫的.他們由代數-算術方法推廣黎曼的理論，特別是黎曼-洛赫定理.前者用理想的語言，後者用除子的語言來整理代數函式論，揭示它們與代數數論的相似之處，從而最終指向交換代數學.
（3）黎曼矩陣、黎曼點集與阿貝爾函式.
黎曼認識到，週期關係是非退化阿貝爾函式存在的充分且必要條件，但他既沒有表述完全，也沒有提供一個證明.對此，魏爾斯特拉斯儘管花費了很大力氣，仍未能得出一個完全證明.龐加萊完成了證明（1902）.他證明，任何2n重週期的解析函式可以表示為兩個整函式的商，這兩個整函式滿足θ函式所適合的函式方程.
1884年弗羅比尼烏斯證明，存在非平凡θ函式的充分且必要條件就是黎曼的雙線性關係.黎曼雙線性關係也被稱為黎曼-弗羅比尼烏斯關係，因此可知這些關係是存在具有給定週期的亞純函式，經過線性變換之後變元數目不減少的充分必要條件，當然它也保證由週期關係定義的θ函式絕對且一致收斂，它還定義了一個與黎曼曲面對應的雅可比簇J(x).
（4）θ函式及雅可比反演問題.
為了研究雅可比簇，黎曼推廣雅可比θ函式，引進黎曼θ函式.
黎曼證明了下列定理：
①阿貝爾定理;
②阿貝爾函式的雅可比反演定理;
③黎曼奇性定理.
（5）雙有理變換的概念和參模.
黎曼對於由兩個代數函式
F(s,z)=0
F1(s1,z1)=0
定義的黎曼面，引進了一個等價關係，即雙有理等價，也就是通過(s,z)與(s1,z1)之間的有理函式一一對應，使F變到F1或F1變到F.以後的代數幾何學，研究雙有理不變數及雙有理等價類成為中心課題.對於平面代數曲線，黎曼提出描述虧格為p的雙有理等價類集合的問題.黎曼通過θ函式推出，當p>1時，這集合依賴於(3p-3)個任意復常數，他稱這些常數為“類模”(klassenmoduln)，後來簡稱為模或參模(moduli).當參模是“一般的”（即不滿足特殊條件）時，黎曼給出該參模等價類中定義的方程
F(s,z)=0
的最小階數.關於參模結構的研究是現代數學的熱門話題，從20世紀30年代以來已經取得了很大的進展.
黎曼在晚年的一個成就是證明p=3情形的託雷裡（Ruggiere Torelli,1884-1915）定理，即J(x),Θ決定X.為此，他把θ函式稍加推廣，成為具有特徵的θ函式.利用這種廣義θ函式及其導數在零點的值（即所謂θ常數），就可以定出虧格為p的黎曼面所依賴的引數.
一般曲線的託雷裡定理是託雷裡在1914年證明的，不過有一些漏洞，直到1957年才由魏伊補全.
代數函式論的另一大問題是肖特基問題，由於雅可比簇是主極化阿貝爾簇，但反過來不一定對.問題是：哪些主極化阿貝爾簇是代數曲線的雅可比簇？1880年,肖特基對於p=3的情形進行研究.1888年對於p=4的情形，他證明，某些θ常數的16次多項式在雅可比簇上為0，但一般不為0.1909年,他和榮格(Heinrich Wilhelm Ewald Jung,1876—1953)引入肖特基簇，猜想它可以刻畫雅可比簇，這就是所謂肖特基猜想，至今尚未解決.原來的肖特基問題由於1986年鹽田隆比呂證明諾維科夫(Serge Novikov,1938-)猜想而向前邁進了一大步.
從以上胡作玄先生的介紹可以看出,橢圓函式始於蠻橫角力計算積分，終於以優雅方式建立起巨集大的理論.
今年60歲的圍棋老將聶衛平參加了今年的三星杯分組賽，雖然第一輪就“慘遭”淘汰，但他還是從心底裡“看不上”那些只知蠻橫角力而忽略了圍棋美學和藝術性的“實戰派棋手”.他說：“沒有大局觀的圍棋我不喜歡，那還能算圍棋嗎？”
如果說橢圓曲線和橢圓函式還停留在為計算橢圓周長作準備的初級階段，那麼它就早被歷史所淘汰，正是因為它成為了21世紀最主流的代數幾何學的發軔，才有了今天人們願意將其鉤沉出來的願望.
曾有記者問季羨林先生，學那些早已作古的文字，如梵文、吐火羅文，有什麼用？季先生淡然說：“世間的學問，學好了，都有用；學不好，都沒用.”
確實，人們現在大多願意學習那些最時髦的理論，對橢圓函式這種19世紀的“過時”理論不屑一顧，但對於那些對數學真正感興趣的人，這麼漂亮的理論不學真是罪過，所以筆者所在的工作室從大量舊文獻中將其打撈出來，奉獻給那些真想學的讀者.香港中文大學教授李連江總結說，“想學”和“真想學”是有差別的，有四層意思：
（1）真想學，就不在乎別人學不學，也不在乎別人學得怎麼樣；
（2）真想學，就會努力學好，不會滿足於差不多；
（3）真想學，就會對自己有耐心；
（4）真想學，才能埋頭耕耘，不問收穫.
由於這一分支歷史久遠，所以有些文獻文白參半，如硬改為今天的語氣也有不便，正如學者蔣寅有一篇文章叫《掃他媽的墓》中寫道：
19世紀30年代正值舉國風行白話文之際，官方刊發何應欽掃墓訊息，指定標題為《何省長昨日去嶽麓山掃其母之墓》.報人改為白話文，翌日以《何省長昨日去嶽麓山掃他媽的墓》為題見報，有些東西還是原汁原味較好，反之易弄巧成拙，被人笑話.
在編的過程中我們遺憾的發現，世界各先進國家的數學家對此均有所貢獻，唯獨缺少我們.前英國首相撒切爾夫人曾斷言：“中國成不了超級大國，只輸出電視機不輸出思想.”這是我們堅決不能同意的.
臨淵羨魚不如退而結網！
劉培傑
2012年9月25日於哈工大