Warshall傳遞閉包演算法的學習與實現
阿新 • • 發佈:2019-01-27
1、問題引入
一個有n個頂點的有向圖的傳遞閉包為:有向圖中的初始路徑可達情況可以參見其鄰接矩陣A,鄰接矩陣中A[i,j]表示i到j是否直接可達,若直接可達,則A[i,j]記為1,否則記為0;兩個有向圖中i到j有路徑表示從i點開始經過其他點(或者不經過其他點)能夠到達j點,如果i到j有路徑,則將T[i,j]設定為1,否則設定為0;有向圖的傳遞閉包表示從鄰接矩陣A出發,求的所有節點間的路徑可達情況,該矩陣就為所要求的傳遞閉包矩陣。。。
例如:
有向圖為:
由該有向圖可以得到初始的鄰接矩陣為:
那麼warshall傳遞閉包演算法的目的就是由鄰接矩陣出發,進行探索求出最終的傳遞閉包:
2、動態規劃求解思路
動態規劃將問題分段,本例warshall演算法是通過一系列n階矩陣r(k)來構造最終階段n階傳遞閉包矩陣r(n)
R(k) 由它的前趨 R(k-1) 計算得到(分級推進計算)。 R(0) ——該矩陣不允許它的路徑中包含任何中間頂點,即從該矩陣的任意頂點出發的路徑不含有中間頂點,此即鄰接矩陣。 R(1) ——允許路徑中包含第1個頂點(本例編號 1)作為中間頂點。 R(2) ——允許路徑中包含前2個頂點(本例編號1 2)作為中間頂點。 R(k) ——允許路徑中包含前k個頂點作為中間頂點。 R(n) ——允許路徑中包含全部 n 個頂點作為中間頂點。 每個後繼矩陣 R(k) 對其前趨 R(k-1) 來說,在路徑上允許增加一個頂點, 因此有可能包含更多的1(增加前為1的在增加後依然為1)。 3、具體的演算法描述warshall(A[1...n,1...n] r(0)<-A; for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]); return r(n);
4、具體實現程式碼如下
說明:(1)有向圖的頂點個數和初始鄰接矩陣儲存在2.txt中(具體如下圖),其中4表示有向圖中有4 個頂點,其他表示初始鄰接矩陣。
(2)有向圖的頂點個數和初始鄰接矩陣個數可以隨意更改,,,,
具體程式碼:
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> void Warshall(int,int**); void main() { int i,j,num; FILE*p; p=fopen("2.txt","r"); if(p==NULL) { printf("cannot open 2.txt"); exit(-1); } fscanf(p,"%d",&num); int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1)); for(i=0;i<num+1;i++) r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1)); for(i=1;i<num+1;i++) for(j=1;j<num+1;j++) fscanf(p,"%d",&r[i][j]); printf("頂點個數為:%d\n",num); printf("鄰接矩陣為:\n"); for(i=1;i<num+1;i++) { for(j=1;j<num+1;j++) printf(" %d ",r[i][j]); printf("\n"); } Warshall(num,r); printf("最終的傳遞閉包為\n"); for(i=1;i<num+1;i++) { for(j=1;j<num+1;j++) printf(" %d ",r[i][j]); printf("\n"); } } //三重迴圈實現的warshall演算法 //r為鄰接矩陣,中間儲存初試的可達與非可達路徑情況,1表示可達,0表示不可達 void Warshall(int num,int**r) { int i,j,k; int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1)); for(i=0;i<num+1;i++) temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1)); for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作為中間點的頂點 { for(i=1;i<=num;i++) { for(j=1;j<=num;j++) { temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]); } } for(i=1;i<=num;i++) for(j=1;j<=num;j++) r[i][j]=temp[i][j]; } }
5、結果如下:
6、參考文獻
(1)演算法導論
(2)資料結構 嚴蔚敏