1. 題目描述

  儘管是一個CS專業的學生，小B的數學基礎很好並對數值計算有著特別的興趣，喜歡用計算機程式來解決數學問題，現在，她正在玩一個數值變換的遊戲。她發現計算機中經常用不同的進製表示一個數，如十進位制數123表達為16進位制時只包含兩位數7、11（B），用八進位制表示為三位數1、7、3，按不同進製表達時，各個位數的和也不同，如上述例子中十六進位制和八進位制中各位數的和分別是18和11,。 小B感興趣的是，一個數A如果按2到A-1進製表達時，各個位數之和的均值是多少？她希望你能幫她解決這個問題？ 所有的計算均基於十進位制進行，結果也用十進位制表示為不可約簡的分數形式。

2. 題目分析

  題目很長，這大概就是筆試題的特點，墨跡一堆，就看你能不能理解。大概的意思就是給你一個整數N，讓你將N分別轉化為2進位制、3進位制……N-1進位制，然後把每一位的數字相加，對這幾種進位制求均值。假設T（N，X）為將整數N轉化為X進位制後的各位數字和，則Answer = [T(N,X=2)+T(N,X=3)+……+T(N,X=N-1)] / (N-1-1)。

3. ac解法——cpp

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;

// 求整數x轉換成n進位制後各位數字的和
 

int everyByteSum(int x, int n, int &everysum) {
    int yushu = x % n;
    everysum += yushu;
    if (x/n >= n) {
        everyByteSum(x/n, n, everysum);
    }
    else {
        everysum += x/n;
    }
    return everysum;
}

int main() {
    int X;
    cin >> X;

    if (X < 1 || X > 5000
 
) // 判定非法輸入
        return -1;

    int everysum = 0;
    int allsum = 0;

    for(int i = 2; i < X; i++) { // 計算每一種進位制的總和
        everysum = 0;
        allsum += everyByteSum(X, i, everysum);
    }

    string ans; // 答案要求輸出分數形式，所以使用字串
    int len = X - 2;

    // 進行分式化簡
    if (allsum % len == 0) {
        allsum = allsum / len;
        len = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= len; i++) {
        while(allsum%i == 0 && len%i == 0 && allsum/i!=0 && len/i!=0){
            allsum = allsum / i;
            len = len / i;
        }
    }

    // 將結果轉化為分式後輸出
    ans = to_string(allsum);
    ans += "/";
    ans += to_string(len);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

4. 總結

  在這裡分式化簡的部分不夠有普遍適用性。理論上應該先求取allsum和len的最大公約數之後，分別除掉最大公約數即可。在規定時間內時間有點緊張，一時掀不起來求最大公約數的演算法，所以採用了上面化簡的不優美的方法。所以在這裡貼一下求最大公約數的演算法，希望下次需要的時候能夠信手拈來。
  最大公約數的求取：
方法一：輾轉相除法

int MaxCommonDivisor(int a, int b) {
    if (a % b == 0)
        return b;
    else
        return MaxCommonDivisor(b, a%b);
}

方法二：輾轉相減法

int MaxCommonDivisor(int a, int b) {
    if (a == b)
        return a;
    if (a > b)
        return MaxCommonDivisor(a-b, b);
    else
        return MaxCommonDivisor(a, b-a);
}

方法三：暴力求解（如題目解答中化解部分）