一、進位制相關知識
1.進製表示

表示b進位制下的n+1位數。
2.進位制之間的轉換

• b進位制向十進位制轉換（按權值展開）
  
  十進位制向b進位制轉換：
  
  • 整數部分除以基數並倒取餘數。
  • 小數部分乘以基數，並順取整數部分

二、題目
1.【天平I】
一個天平，有N個重量未知的砝碼，砝碼重量可由你自由確定。砝碼可任意放在天平的左右兩邊，但要求稱出從1到M之間所有的重量，現給出N的值，請問M最大值為多少。
【分析】如下圖分析

2.【天平II】
一個天平，砝碼分別為1g、3g、9g、27g、…、6561g…，每個砝碼只有一個，要稱重的物品放在天平的左側，而砝碼允許放在天平的左右兩側。已知一個物品的質量N （N≤10^8 ），問如何稱重？
【分析】
　　因為砝碼可以放右側、不放或者放左側三種狀態，因此可以將N轉換成三進位制後，將三進制中的0、1、2三個狀態轉換成 0、1 、-1 ，具體的說，就是0和1不變，2變成-1後，其高一位加1。

3.【天平III】
一個天平，砝碼分別為1g、3g、9g、27g、… 、6561g…，每個砝碼只有一個，要稱重的物品放在天平的左側，而砝碼只允許放在天平的右側。將由這個系統可以稱出來的重量按從小到大的順序進行排列，得到下列序列：1,3,4,9,10,…。問其中的第K個重量是多少？(資料規模：K≤10^5)
【分析】
　　只允許放右側，那麼對於一個砝碼只有兩種狀態，要麼放，要麼不放，那麼可以用二進位制來處理。將K轉化為二進位制，從低到高對應位上是1，則對應從小到大的對應砝碼就使用，是0則表示該砝碼未用。

4.有一個黑匣子，黑匣子裡有一個關於 x 的多項式 p(x) 。我們不知道它有多少項，但已知所有的係數都是正整數。每一次，你可以給黑匣子輸入一個整數，黑匣子將返回把這個整數代入多項式後的值。你可以在幾步之內還原出整個多項式？
【分析】
首先,輸入 1 ,於是便得到整個多項式的所有係數之和.不妨把這個係數和記作 S .下一步,輸入 S + 1 ,於是黑匣子返回
an * (S + 1)＾n + an-1 * (S + 1)＾n-1 + … + a1 * (S + 1)＾１ + a0
把這個值轉換成 S + 1 進位制,依次計算出每一位上的數,它們就是多項式的各項係數了。
　　為什麼是S+1?
－－確保進位制的基數大於最大的係數，第二次帶入就應為係數和+1。