問題

一條項鏈上有n種類型的珠寶，每種珠寶的數量均為偶數。問至少可以切多少刀，可以將所有珠寶均分？

首先介紹Borsuk-Ulam Theorem:

想象一個三維空間中的球面被扭曲壓縮到二維平面上，由於變形是連續的，因此球面上有許多點重合在了一起。

$Borsuk-Ulam$定理告訴我們，總能找到這樣的兩個點，它們一開始在球面上處於完全相反的兩極，經過映射後會重新合在一起。

這個定理有一個經典的應用：地球上一定存在完全相對的某一對點，兩處的氣溫和氣壓都恰好相同。因為地球上每一點都對應這氣溫和氣壓兩個值，這與將地球表面映射到一個二維平面是一樣的，同時這映射也是連續的。

簡單證明

給定某個從球面到平面的函數，想象地球赤道上兩個相對的點問繞赤道走一圈，則函數在平面上相應的函數值會形成某種閉合回路，由於兩點最後一定交換了位置，那麽一定存在使這兩點的$X$坐標相同的位置，標記下這一位置。

想象將赤道傾斜，沿著這個略微不同的圓繼續上述步驟，此時在平面上輸出的回路會有所改變，不過同理，在路線上一定存在某點使得對拓的兩點$X$坐標相等，標記下這一位置。

重復這一步驟，連續旋轉赤道，經過180°，回到原位。你所標記的點在球面上會形成閉合回路。所標記的點在平面上同樣形成閉合回路（白色線條所示），在這條回路上，這兩點的$X$坐標總是相同的，同時由於兩點最後也會交換位置，因此中途定有一點使得$Y$坐標也相等。這樣我們就找到了這一點。

為了闡述該定理如何應用到我們的問題上，首先將$Borsuk-Ulam$定理嚴格寫出

$$\text{For any continuous function } f: S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 \\
\exists (x_1,x_2,x_3) \qquad\text{s.t. } x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \\
f(x_1,x_2,x_3) = f(-x_1,-x_2,-x_3)$$

由於該定理適合於連續情況而項鏈分贓問題是離散的，首先將寶石想象成連續的線段。可以看出如果這一連續的問題能夠解決，則離散的問題也自然解決。因為我們可以調整切割點的位置使其恰好落在線段的端點上。

考慮僅有2中寶石的情況，令項鏈長度為1，欲將球的方程與切割方法聯系起來，令切割的三段長度分別為$x^2,y^2,z^2$，並根據正負號將這一長度分給$A$或$B$比如系數為正，則這一段給賊1；系數為負，則一段給賊2

這樣就有$x^2+y^2+z^2=1$，即球面上的每一點對應一種分配方案。

更進一步地，我們構造這樣的函數：輸入一個給定的項鏈分配方案，輸出兩個數，分別對應其中一人得到的兩種寶石數量。這其實就是從球面到平面的一個映射。由$Borsuk-Ulam$定理可知，一定存在一種分配方案使得$A、B$在交換所分得的寶石後保持每種數量不變，也就是一種均分方案。

將這一定理拓展至高維情形：從一個$n$維空間的超球面到$n-1$維空間的映射也必須保證這樣一對點存在。因此對於$n$種不同的寶石，只需要切$n$刀便可均分。

參考鏈接

• Vedio
• Blog

用球面映射巧解分贓難題：拓撲學的另一妙用