完美數簡介

例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3=6。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14=28。第三個完全數是496，有約數1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其餘9個數相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。後面的完全數還有8128、33550336等等。

解法

如何求小於10000的所有完美數？並將程式寫的有效率？基本上有三個步驟：

求出一定數目的質數表

利用質數表求指定數的因式分解

利用因式分解求所有真因數和，並檢查是否為完美數

步驟一 與 步驟二在之前討論過了，問題在步驟三，如何求真因數和？方法很簡單，要先知道將所有真因數和加上該數本身，會等於該數的兩倍，例如：

2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28

等式後面可以化為：

2 * 28 = (2⁰ + 2¹ + 2²) * (7⁰ + 7¹)

所以只要求出因式分解，就可以利用迴圈求得等式後面的值，將該值除以2就是真因數和了；等式後面第一眼看時可能想到使用等比級數公式來解，不過會使用到次方運算，可以在迴圈走訪因式分解陣列時，同時計算出等式後面的值，這在下面的實作中可以看到。

C/OC程式碼實現

#define N 1000
#define P 10000

int prime(int*);  // 求質數表
int factor(int*, int, int*);  // 求factor（因式分解）
int fsum(int*, int);  // sum ot proper factor（因式求和，判斷是不是完全數）

//主程式（C/OC）
int ptable[N+1] = {0}; // 儲存質數表
int fact[N+1] = {0};   // 儲存因式分解結果
int count1, count2, i;

count1 = prime(ptable);

for(i = 0; i <= P; i++) {//i為被判斷的數
    count2 = factor(ptable, i, fact);//將i因式分解，通過質數表ptable，結果放到fact中
    if(i == fsum(fact, count2))
        printf("Perfect Number: %d\n", i);
}
printf("\n");
 

//求質數表，放到pNum中
int prime(int* pNum) {
    int i, j;
    int prime[N+1];
    
    for(i = 2; i <= N; i++)
        prime[i] = 1;
    
    for(i = 2; i*i <= N; i++) {
        if(prime[i] == 1) {
            for(j = 2*i; j <= N; j++) {
                if(j % i == 0)
                    prime[j] = 0;
            }
        }
    }
    
    for(i = 2, j = 0; i < N; i++) {
        if(prime[i] == 1)
            pNum[j++] = i;
    }
    
    return j;
}

//將i因式分解，通過質數表ptable，結果(都是質數)放到fact中
int factor(int* table, int num, int* frecord) {
    int i, k;
    
    for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) {
        if(num % table[i] == 0) {
            frecord[k] = table[i];
            k++;
            num /= table[i];
        }
        else
            i++;
    }
    
    frecord[k] = num;
    
    return k+1;
}

//通過傳入質數表和質數表長度，判斷質數表所對應的數是不是完美數
int fsum(int* farr, int c) {
    int i, r, s, q;
    i = 0;
    r = 1;
    s = 1;
    q = 1;
    while(i < c) {
        do {
            r *= farr[i];
            q += r;//q為真因子相加結果
            i++;
        } while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]);//如果因子中有兩個相同質數
        s *= q;//某個因子（包括相同的）計算結束，儲存在s中，然後while迴圈判斷下一個質數
        r = 1;
        q = 1;
    }
    return s / 2; 
}