Aitken加速數值實驗

實驗1：

（1）用不動點迭代法求fx=x3-x-1=0的根。至少設計兩種迭代格式，一個收斂一個發散，ε=10-12。

（2）對迭代格式採用Aitken加速觀察斂散性變化。

實驗2：

1. fx=3x2-ex=0，分析其有根區間。
2. x=φx=lnx2+ln3，取x0=3.5,1,-0.5進行計算，對比直接計算與Aitken加速的結果。
3. 設計更多的x=φx，採用更多的初值，重複（2）的操作。

通過以上兩個實驗，你對Aitken加速有了什麼樣的認識？

解實驗1：

（1）

由圖可知，fx=x3-x-1=0在（1,2）有唯一解。而f'x=3x2-1,當x<-1時，f

迭代格式1：xk+1=xk3-1

程式如下：

結果如下：

迭代格式1發散。

迭代格式2：xk+1=3xk+1

結果如下：

迭代34次達到要求誤差，收斂於1.32472

（2）

       對迭代格式1：xk+1=xk3-1使用Aitken加速

    結果如下：

       對迭代格式2：xk+1=3xk+1使用Aitken加速

    結果如下：

解實驗2：

（1）

如圖所示：fx=3x2-ex=0分別在（-1,0）、（0,2）和（3,4）之間存在唯一根。X<-1時，f

（2）

使用直接計算程式如下：

Atiken加速程式如下：

兩種計算結果對比如下：

初值為1.0，使用直接計演算法迭代50次達到計算精度，使用Aitken加速法迭代7次達到計算精度。

初值為3.5，使用直接計演算法迭代41次達到計算精度，使用Aitken加速法迭代5次達到計算精度。

初值為-1.0，使用直接計演算法迭代49次達到計算精度，使用Aitken加速法迭代4次達到計算精度。

（3）

       取迭代格式為：

φx=-e

       直接計演算法程式如下：

       使用Aitken加速法程式如下：

兩種計算結果對比如下：

初值為1.0時，直接計演算法迭代32次x32=0.9100075724897779

                       Aitken加速法迭代3次x3=0.9100075724887089

初值為3.5時，直接計演算法迭代40次x40=0.9100075724900062

                       Aitken加速法迭代5次x5=3.7330790286328144

初值為-1.0時，直接計演算法迭代17次x17=-0.4589622675363961

                       Aitken加速法迭代3次x3=-0.4589622675369486

一、從實驗一可知，對於直接計收斂的迭代格式，運用Aitken加速法可以使其收斂，但不能起到加速法作用。

二、直接計演算法可能無法求得相應區間的根，Aitken可以求得相應區間的根。

三、和其他演算法相比，使用Aitken加速法，可以收斂的迭代格式迅速逼近準確解。