題目描述

Count the number of n x n matrices A satisfying the following condition modulo m.
* Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* Ai, j = Aj, i for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* Ai, 1 + Ai, 2 + ... + Ai, n = 2 for all 1 ≤ i ≤ n.
* A1, 1 = A2, 2 = ... = An, n = 0.

輸入描述:

The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.

輸出描述:

For each test case, print an integer which denotes the result.

示例1

輸入

複製

3 1000000000
100000 1000000000

輸出

複製

1
507109376

備註:

* 1 ≤ n ≤ 105
* 1 ≤ m ≤ 109
* The sum of n does not exceed 107.

題目大意：給出n和m，要你構造出滿足如下條件的n*n的矩陣，

1、矩陣內的元素A[i][j] = {0,1,2}

2、矩陣內的元素A[i][j] = A[j][i]

3、矩陣內的元素A[i][1]+A[i][2]+A[i][3]+...+A[i][n]=2 對於所有的 i 都成立

4、矩陣內的元素A[i][i]=0  對於所有的 i 都成立

問你有多少中構造方案

題目思路：可以把這個矩陣看做是無向圖的鄰接矩陣，那麼我們就可以把問題轉化為求無向圖中所有點的度數都為2的圖有多少個。我們考慮f[n]表示n個結點的圖滿足條件的數量。

接下來我們考慮圖中的最後一個點所在的環中有多少個結點，當最後一個環只有兩個結點的時候

表示從除最後一個點以外的n-1個點中選出1個點與最後一個點形成環，前n-2個點形成滿足條件的圖的總情況有多少，

再考慮最後一個點所在的環有n-k(k>=2)個結點的情況

我們可以先從前n-1個結點中選出k個結點形成滿足條件的圖，那麼剩下的n-k-1個結點就有(n-k-1)!種形成鏈的方式（因為每個點的度為2，且這n-k-1個結點要與最後一個點形成環，所以這n-k-1個結點只會形成鏈），然後我們再加入最後一個結點與這條鏈的首尾相連形成環，由於首尾的順序與形成的環的方式是無關的，所以這裡要除以一個2將重複的情況去除（比如1,2,3三個結點的全排列中就有1,2,3和3,2,1兩種，由於它是無向圖，所以在加入最後一個結點4之後形成的環都是1-2-3-4-1，就有一種情況重複計算了）。

最後推出來的式子為

綜上所述可得如下式子

通過上述式可得

遞推式就推完畢了，具體實現看程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define pb push_back
#define MP make_pair
#define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
#define fuck(x) cout<<"["<<x<<"]"<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
const int MX=1e5+7;

int n,m;
ll f[MX];

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(m==1){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        f[1]=0;
        f[2]=f[3]=1;
        for(int i=4;i<=n;i++){
            f[i]=((i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%m-(ll)(i-1)*(i-2)/2*f[i-3]+m)%m;
        }
        printf("%lld\n",(f[n]+m)%m);
    }
    return 0;
}