收藏幾個經典的函式，用來當作數學優化方法求解的例子。再收藏幾個有趣的函式影象。

1 平面心形影象

經過 網上搜索，平面座標系中，下面函式最像心形影象，而且函式形式簡單，不需要分段。

 \begin{equation}x^2+(y-(x^2)^{1/3})^2=9 \end{equation}

改變右面的數值可以變化心形影象的大小。

> ezplot('x^2+(y-(x^2)^(1/3))^2=9')

還有一個函式：

                         \begin{equation}-x^2y^3+(x^2+y^2-1)^3=0\end{equation}

ezplot('-x^2*y^3+(x^2+y^2-1)^3=0',[-1.5,1.5])
 

另外一個函式：

\begin{equation}17x^2-16|x|y+17y^2=200\end{equation}

ezplot('17*x.^2-16*abs(x).*y+17*y.^2=200'

另外一個分段函式：

   \begin{align}f(x)&=\sqrt{2\sqrt{x^2}-x^2}\nonumber\\g(x)&=-2.14\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{|x|}}\nonumber\end{align}

x=linspace(-2,2,1000);
y1=sqrt(2*sqrt(x.^2)-x.^2);
y2=-2.14*sqrt(sqrt(2)-sqrt(abs(x)));
plot(x,y1,'b',x,y2,'b');
axis([-2.5,2.5,-3,1.5]);
 

另外一個：

\begin{align}x&=16(sint)^3\nonumber\\y&=13cost-5cos(2t)-2cos(3t)-cos(4t)\nonumber\end{align}

t=linspace(-6,6,1000);
x=16*(sin(t)).^3;
y=13*cos(t)-5*cos(2*t)-2*cos(3*t)-cos(4*t);
plot(x,y);

2. 立體心形影象

立體心形貌似只能由笛卡爾方程得到：

  \begin{equation}(x^2+ 9y^2/4 + z^2- 1)^3 - x^2z^3 - 9y^2z^3/80=0\end{equation}

畫圖時用 isosurface 和 patch  函式：

圖形1：

[email protected](x,y,z)(x.^2+ (9./4).*y.^2 + z.^2 - 1).^3 - x.^2.*z.^3 - (9./80).*y.^2.*z.^3;
[x,y,z]=meshgrid(linspace(-3,3));
val=f(x,y,z);
[p,v]=isosurface(x,y,z,val,0);
patch('faces',p,'vertices',v,'facevertexcdata',jet(size(v,1)),'facecolor','w','edgecolor','flat');
view(3);grid on;axis equal;

[email protected](x,y,z)(x.^2+ (9./4).*y.^2 + z.^2 - 1).^3 - x.^2.*z.^3 - (9./80).*y.^2.*z.^3;
[x,y,z]=meshgrid(linspace(-1.5,1.5));
val=f(x,y,z);
isosurface(x,y,z,val,0); 
axis equal;view(3);colormap([1 0.2 0.2])

3. 軸對稱振盪器函式

    \begin{equation}f(x)=xsin(x)\end{equation}

ezplot('x*sin(x)')

4.  剛好有一個極大點，一個極小點的二元函式

   \begin{equation}f(x,y)=xe^{-x^{2}-y^{2}}\end{equation}

ezmesh(@(x,y) x.*exp(-x.^2-y.^2))

5. peaks 函式（二元高斯分佈的概率密度函式）（三個極大點，三個極小點）

   \begin{equation}f(x,y)=3(1-x)^{2}e^{-x^2-(y+1)^2}-10(\frac{1}{5}x-x^3-y^5)e^{-x^2-y^2}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^2-y^2}\end{equation}

 [email protected](x,y)3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);
 ezmesh(f);