在講ElGamal 密碼之前，先溫習一下基礎的數學知識。我們在中學的時候都知道,X^y=n,則求y是很容易的，y=logy(n),但是，如果我們對這個n取模的話，要想求出這個y就是NPC問題了，很難求出了，這就是離散對數問題，因為，取模就是將連續數字離散化的過程。還需要掌握的數學知識有：群的概率，我這兒來一個百度上的解釋：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。在來一點數學知識：原根，首先設(a,p)=1也就是a和n是互素的，則根據尤拉定理知道a^(p-1)=1 mod p,這個(p-1)就是p的尤拉函式值，如果這個(p-1)是使這個式子成立的最小的值的話，那麼我們就說a是p的原根，記作ORDp(a),這個原根有一些很好用的性質：1.ORDp(a^x)=ORDp(a)/(ORDp(a),x);證明就略了。2.如果a是p的原根，則a,a^2,a^3,,,,,,a^φ(n)(φ(n)就是n的尤拉函式值)，這幾個數模n就會構成n的簡化剩餘系。那麼該如何求一個素數的原根那？有這樣的方法，首先，這個原根是與n是互素的，再者，計算φ(n)，將這個φ（n）寫成素數的乘積的形式φ(n)=p1^x1+p2^x2+...，這樣，如果，與n互素的數a裡面有a^pi mod n=1，這樣的就肯定不是原根，如果不是這樣的就是原根，因為只要二個數互素就一定滿足尤拉定理，如果，可以有比n的尤拉值下的，則就不是否則就是。下來，我們就看一個群，Zp，這個群就是由p的簡單剩餘系構成的，則這個群的生成元就是p的原根，我們的ElGamal 密碼就是在一個素數群Zp中定義的。

     看一下，ElGamal 密碼的具體過程：

1.首先找一個Zp群。以及知道它的生成元G;

2隨機在小於p的正數中找一個數a,

3.計算b=G^a mod p,則公鑰就是(p,G,b);

假如有明文m,我們的加密函式設為E()；則首先，我們還是找一個隨機數K，E(m,k)=(c1,c2);c1=g^k mod p;c2=m*b^k mod p;這樣在對方收到這個密文時，就可以這樣解密:

m=c2*(c1^a)^-1 mod p;這個密文的安全，就是依賴於這個離散對數問題的破解難度。