CG筆記之二——曲線和曲面
阿新 • • 發佈：2019-01-29
CG造型中用到較多曲線論和曲面論的知識，這在一般分析學課程中不作為重點，而屬於微分幾何講授的內容。一些不十分艱深的數學參考書，如南開大學數學叢書系列之一《微分幾何》（孟道驥，樑科著，科學出版社出版），都能對相關理論內容做較詳細的闡述。
在曲線連續部分，有關G2和C2關係問題，容易引起一些誤解。其實G2已經保證了k(s)*N(s)的相等，但C2的要求是P"(t)的相等，而這要比前者要求更嚴格。
有關G2本質上等價於k(s)*N(s)相等的論證如下：
G2要求有公共“曲率矢”：
P'(1)×P"(1)/|P'(1)|3 = Q'(0)×Q"(0)/|Q'(0)|3 （式1）
由於P'(t)=sP
sign(sP'(1))*kP(1)*BP(1)=sign(sQ'(0))*kQ(0)*BQ(0) （式2）
另外根據G1有a*P'(1)=Q'(0)，且a>0，於是，a*sP'(1)*TP(1)=sQ'(0)*TQ(0)，有sign(sP'(1))*TP(1)=sign(sQ'(0))*TQ(0)，兩側和式2做外積得到：kP(1)*NP(1)=kQ(0)*NQ(0)，容易完成相反方向的論證，由此等價關係成立。k(s)*N(s)相等的條件要比C2要弱，因為即使曲線曲率和法向量一致，但P
在曲線連續部分，有關G2和C2關係問題，容易引起一些誤解。其實G2已經保證了k(s)*N(s)的相等，但C2的要求是P"(t)的相等，而這要比前者要求更嚴格。
有關G2本質上等價於k(s)*N(s)相等的論證如下：
G2要求有公共“曲率矢”：
P'(1)×P"(1)/|P'(1)|3 = Q'(0)×Q"(0)/|Q'(0)|3 （式1）
由於P'(t)=sP
sign(sP'(1))*kP(1)*BP(1)=sign(sQ'(0))*kQ(0)*BQ(0) （式2）
另外根據G1有a*P'(1)=Q'(0)，且a>0，於是，a*sP'(1)*TP(1)=sQ'(0)*TQ(0)，有sign(sP'(1))*TP(1)=sign(sQ'(0))*TQ(0)，兩側和式2做外積得到：kP(1)*NP(1)=kQ(0)*NQ(0)，容易完成相反方向的論證，由此等價關係成立。k(s)*N(s)相等的條件要比C2要弱，因為即使曲線曲率和法向量一致，但P