轉自：http://blog.csdn.net/crazy__chen/article/details/45115911

題目描述：

解法1：找規律。首先定義最初的n個數字（0,1,…,n-1）中最後剩下的數字是關於n和m的方程為f(n,m)。在這n個數字中，第一個被刪除的數字是（m-1）%n，為簡單起見記為k。那麼刪除k之後的剩下n-1的數字為0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，並且下一個開始計數的數字是k+1。相當於在剩下的序列中，k+1排到最前面，從而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。該序列最後剩下的數字也應該是關於n和m的函式。由於這個序列的規律和前面最初的序列不一樣（最初的序列是從0開始的連續序列），因此該函式不同於前面函式，記為f’(n-1,m)。最初序列最後剩下的數字f(n,m)一定是剩下序列的最後剩下數字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。接下來我們把剩下的的這n-1個數字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一個對映，對映的結果是形成一個從0到n-2的序列：

    k+1    ->    0
    k+2    ->    1
    …
    n-1    ->    n-k-2
    0   ->    n-k-1
    …
    k-1   ->   n-2

        把對映定義為p，則p(x)= (x-k-1)%n，即如果對映前的數字是x，則對映後的數字是(x-k-1)%n。對應的逆對映是p-1(x)=(x+k+1)%n。由於對映之後的序列和最初的序列有同樣的形式，都是從0開始的連續序列，因此仍然可以用函式f來表示，記為f(n-1,m)。根據我們的對映規則，對映之前的序列最後剩下的數字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

        經過上面複雜的分析，我們終於找到一個遞迴的公式。要得到n個數字的序列的最後剩下的數字，只需要得到n-1個數字的序列的最後剩下的數字，並可以依此類推。當n=1時，也就是序列中開始只有一個數字0，那麼很顯然最後剩下的數字就是0。我們把這種關係表示為：

               0                            n=1
f(n,m)={
              [f(n-1,m)+m]%n     n>1

        儘管得到這個公式的分析過程非常複雜，但它用遞迴或者迴圈都很容易實現。最重要的是，這是一種時間複雜度為O(n)，空間複雜度為O(1)的方法，因此無論在時間上還是空間上都優於前面的思路。

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n <= 0)
            return -1;
        int res = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            res = (res + m) % i;
        }
        return res;
    }
}