簡單博弈論題目總結
阿新 • • 發佈：2019-01-30
BashGame I
有一堆石子共有N個。A B兩個人輪流拿，A先拿。每次最少拿1顆，最多拿K顆，拿到最後1顆石子的人獲勝。假設A B都非常聰明，拿石子的過程中不會出現失誤。給出N和K，問最後誰能贏得比賽。
例如N = 3，K = 2。無論A如何拿，B都可以拿到最後1顆石子。
//https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1066
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int N,K,T;
/*
巴什博奕(Bash Game):
必勝策略:設N=(K+1)r+s,先手者拿走s個,使後手者面對(K+1)的倍數的情況.若後手者拿走m個,則先手者再拿走K+1-m個.
*/ WythoffGame I
有2堆石子。A B兩個人輪流拿，A先拿。每次可以從一堆中取任意個或從2堆中取相同數量的石子，但不可不取。拿到最後1顆石子的人獲勝。假設A B都非常聰明，拿石子的過程中不會出現失誤。給出2堆石子的數量，問最後誰能贏得比賽。
例如：2堆石子分別為3顆和5顆。那麼不論A怎樣拿，B都有對應的方法拿到最後1顆。
//https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1072
//證明:http://baike.baidu.com/item/%E5%A8%81%E4%BD%90%E5%A4%AB%E5%8D%9A%E5%BC%88/19858256?fr=aladdin&fromtitle=%E5%A8%81%E4%BD%90%E5%A4%AB%E5%8D%9A%E5%A5%95&fromid=7139745&type=syn#4
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,N,M;
/*
威佐夫博弈:
兩個人如果都採用正確操作,那麼面對非奇異局勢,先拿者必勝;反之,則後拿者取勝.
局勢(N,M)(N<M)滿足N==(int)((1.0+sqrt(5.0))/2.0*(M-N))時,該局勢為奇異局勢,後拿者必勝.
*/
int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>N>>M;
if (N>M) swap(N,M);
if (N==(int)((1.0+sqrt(5.0))/2.0*(M-N)))
cout<<"B\n";
else
cout<<"A\n";
}
return 0;
}
NimGame
有N堆石子。A B兩個人輪流拿，A先拿。每次只能從一堆中取若干個，可將一堆全取走，但不可不取，拿到最後1顆石子的人獲勝。假設A B都非常聰明，拿石子的過程中不會出現失誤。給出N及每堆石子的數量，問最後誰能贏得比賽。
例如：3堆石子，每堆1顆。A拿1顆，B拿1顆，此時還剩1堆，所以A可以拿到最後1顆石子。
//https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1069
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int N,Ans,A;
/*
尼姆博奕:
(Bouton's Theorem)對於一個Nim遊戲的局面(a1,a2,...,an),它是P-position當且僅當a1^a2^...^an=0,其中^表示異或(xor)運算.
*/
int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
cin>>N;
for (int i=0;i<N;i++)
{
cin>>A;
if (!i)
Ans=A;
else
Ans^=A;
}
if (Ans)
cout<<"A\n";
else
cout<<"B\n";
return 0;
}
//http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848
//部落格學習:http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495
/*
SG函式：
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG(c)，那麼SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函式的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX=1e3+5;
int M,N,P,F[50],SG[MAX],S[MAX];
void GetSG(int n)
{
memset(SG,0,sizeof(SG));
for (int i=1;i<=n;i++)
{
memset(S,0,sizeof(S));
for (int j=0;F[j]<=i&&j<50;j++)
S[SG[i-F[j]]]=1;
for (int j=0;j<=n;j++)
if(!S[j])
SG[i]=j,j=n+123;
}
}
int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
F[0]=F[1]=1;
for (int i=2;i<50;i++)
F[i]=F[i-1]+F[i-2];
GetSG(MAX);
while(cin>>M>>N>>P&&(M||N||P))
{
if(SG[M]^SG[N]^SG[P])
cout<<"Fibo\n";
else
cout<<"Nacci\n";
}
return 0;
}