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計算機為什麼採用補碼的形式儲存資料?

在計算機內部,所有資訊都是用二進位制數串的形式表示的。整數通常都有正負之分,計算機中的整數分為無符號的和帶符號的。無符號的整數用來表示0和正整數,帶符號的證書可以表示所有的整數。由於計算機中符號和數字一樣,都必須用二進位制數串來表示,因此,正負號也必須用01來表示。通常我們用最高的有效位來表示數的符號(當用8位來表示一個整數時,第8位即為最高有效位,當用16位來表示一個整數時,第16位即為最高有效位。)0表示正號、1表示負號,這種正負號數字化的機內表示形式就稱為“機器數”,而相應的機器外部用正負號表示的數稱為“真值”。將一個真值表示成二進位制字串的機器數的過程就稱為編碼。

無符號數沒有原碼、反碼和補碼一說。只有帶符號數才存在不同的編碼方式。

帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換為其相應的二進位制形式,而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原碼、反碼和補碼都一樣,負數的反碼是對原碼的除符號位外的其他位進行取反後的結果(取反即如果該位為0則變為1,而該位為1則變為0的操作)。而補碼是先求原碼的反碼,然後在反碼的末尾位加1 後得到的結果,即補碼是反碼+1IBM-PC中帶符號整數都採用補碼形式表示。(注意,只是帶符號的整數採用補碼儲存表示的,浮點數另有其儲存方式。)

採用補碼的原因或好處如下,採用補碼運算具有如下兩個特徵:

1)因為使用補碼可以將符號位和其他位統一處理,同時,減法也可以按加法來處理,即如果是補碼錶示的數,不管是加減法都直接用加法運算即可實現。

2)兩個用補碼錶示的數相加時,如果最高位(符號位)有進位,則進位被捨棄。

這樣的運算有兩個好處:

1)使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構,提高運算速度;(減法運算可以用加法運算表示出來。)

2)加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化計算機中運算器的線路設計。

下面深入分析上面所陳述的採用補碼的原因(目的)。

用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題,如下: 假設字長為8bits

( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.。

因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的,於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上,對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算:

 ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

 (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題。

 ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

 (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確

問題出現在(+0)和(-0)上,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。

於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一,而正數不變,正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0),所以補碼的表示範圍為:

(-128~0~127)共256個。

注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼, (-128) = (10000000) 補碼的加減運算如下:

( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確

 ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確

採用補碼錶示還有另外一個原因,那就是為了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼錶示的0有兩種形式+0和-0,而我們知道,+0和-0是相同的。這樣,8位的原碼和反碼錶示的整數的範圍就是-127~+127(11111111~01111111),而採用補碼錶示的時候,00000000是+0,即0;10000000不再是-0,而是-128,這樣,補碼錶示的數的範圍就是-128~+127了,不但增加了一個數得表示範圍,而且還保證了0編碼的唯一性。

整數和0的原碼、反碼和補碼都相同,下面介紹手工快速求負數補碼的方法。這個方法在教材的第8頁已經提到了,這裡再寫出來以便能引起大家的注意。其方法如下:

先寫出該負數的相反數(正數),再將該正數的二進位制形式寫出來,然後對這個二進位制位串按位取反,即若是1則改為0,若是0則改為1,最後在末位加1。

接下來的問題是,如何能將減法運算轉換成加法運算呢?

我們已經知道,原碼錶示簡單直觀,與真值轉換容易。但如果用原碼錶示,其符號位不能參加運算。在計算機中用原碼實現算術運算時,要取絕對值參加運算,符號位單獨處理,這對乘除運算是很容易實現的,但對加減運算是非常不方便的,如兩個異號數相加,實際是要做減法,而兩個異號數相減,實際是要做加法。在做減法時,還要判斷運算元絕對值的大小,這些都會使運算器的設計變得很複雜。而補碼這種編碼方式實際上正是針對上述問題的。通過用補碼進行表示,就可以把減法運算化為加法運算。

在日常生活中,有許多化減為加的例子。例如,時鐘是逢12進位,12點也可看作0點。當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法:

一種方法是時針逆時針方向撥5格,相當於做減法:

    10-5=5

另一種方法是時針順時針方向撥7格,相當於做加法:

    10+7=12+5=5    (MOD 12)

這是由於時鐘以12 為模,在這個前提下,當和超過12時,可將12捨去。於是,減5相當於加7。同理,減4可表示成加8,減3可表示成加9,…。

在數學中,用“同餘”概念描述上述關係,即兩整數AB用同一個正整數M (M稱為模)去除而餘數相等,則稱A、BM同餘,記作:

    AB     (MOD  M)

具有同餘關係的兩個數為互補關係,其中一個稱為另一個的補碼。當M=12時,-5和+7,-4和+8,-3和+9就是同餘的,它們互為補碼。

從同餘的概念和上述時鐘的例子,不難得出結論:對於某一確定的模,用某數減去小於模的另一個數,總可以用加上“模減去該數絕對值的差”來代替。因此,在有模運算中,減法就可以化作加法來做。

可以看出,補碼的加法運算所依據的基本關係為:

[x]補+ [y]補= [x+y]補

補碼減法所依據的基本關係式:

[x-y]補 =[x+(-y)]補= [x]補+ [-y]補

至於加法運算為什麼比減法運算易於實現以及CPU如何實現各種算術運算等問題,則需要通過對數位電路的學習來理解CPU的運算器的硬體實現問題的相關內容了。