傳送門

首先，肯定只有凸包上的點會限制這個矩形，所以建立凸包。

然後可以知道，矩形上一定有一條邊與凸包上的邊重合，否則可以轉一下使得它重合，答案會更小。

於是沿著凸包枚舉這一條邊，通過旋轉卡殼找到離這條邊最遠的點以及這個矩形兩端的點，這五個點構成的矩形就是一個可能的答案了。

各種判斷用向量叉積和點積

註意一下輸出\(-0.0000\)的情況

#include<bits/stdc++.h>
#define ld long double
#define eps 1e-8
//This code is written by Itst
using namespace std;

const int MAXN = 5e4 + 10;
struct vec{
    ld x , y;
    vec(ld _x = 0 , ld _y = 0){x = _x; y = _y;}
    bool operator <(const vec a)const{
        return x < a.x;
    }
    vec operator -(vec a){
        return vec(x - a.x , y - a.y);
    }
    vec operator *(ld p){
        return vec(p * x , p * y);
    }
    vec operator +(vec a){
        return vec(x + a.x , y + a.y);
    }
}now[MAXN] , temp[MAXN] , squ[4];
int cnt , N , top , st[MAXN] , ind[MAXN];
ld ans;

inline bool cmp(ld a , ld b){
    return a - eps < b && a + eps > b;
}

inline ld cot(vec a , vec b){
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

inline ld dot(vec a , vec b){
    return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

inline ld calS(vec a , vec b , vec c){
    return fabs(cot(c - a , b - a));
}

inline ld len(vec a){
    return sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);
}

inline ld calS(vec a , vec b , vec c , vec d , vec e){
    return calS(a , d , b) / len(b - a) * dot(c - e , b - a) / len(b - a);
}

inline vec rev(vec a){
    return vec(-a.y , a.x);
}

void input(){
    cin >> N;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
        cin >> now[i].x >> now[i].y;
}

void init(){
    ans = 1e18;
    sort(now + 1 , now + N + 1);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
        while(top >= 2 && cot(now[i] - now[st[top - 1]] , now[st[top]] - now[st[top - 1]]) > -eps)
            --top;
        st[++top] = i;
    }
    for(int i = 1 ; i <= top ; ++i)
        ind[++cnt] = st[i];
    top = 0;
    for(int i = N ; i ; --i){
        while(top >= 2 && cot(now[i] - now[st[top - 1]] , now[st[top]] - now[st[top - 1]]) > -eps)
            --top;
        st[++top] = i;
    }
    for(int i = 2 ; i < top ; ++i)
        ind[++cnt] = st[i];
    for(int i = 1 ; i <= cnt ; ++i)
        temp[i] = now[ind[i]];
    memcpy(now + 1 , temp + 1 , sizeof(vec) * cnt);
}

void work(){
    int minX = 1 , maxX = 1 , minY = 1 , maxY = 1;
    for(int i = 2 ; i <= N ; ++i){
        if(now[minX].x > now[i].x)
            minX = i;
        if(now[maxX].x < now[i].x)
            maxX = i;
        if(now[minY].y > now[i].y)
            minY = i;
        if(now[maxY].y < now[i].y)
            maxY = i;
    }
    ans = (now[maxY].y - now[minY].y) * (now[maxX].x - now[minX].x);
    squ[0].x = squ[3].x = now[minX].x;
    squ[1].x = squ[2].x = now[maxX].x;
    squ[0].y = squ[1].y = now[minY].y;
    squ[2].y = squ[3].y = now[maxY].y;
    for(int i = 1 ; i <= cnt ; minY = minY % cnt + 1 , ++i){
        while(calS(now[minY] , now[maxY] , now[minY % cnt + 1]) < calS(now[minY] , now[maxY % cnt + 1] , now[minY % cnt + 1]))
            maxY = maxY % cnt + 1;
        while(dot(now[minY % cnt + 1] - now[minY] , now[minX % cnt + 1] - now[minX]) < eps)
            minX = minX % cnt + 1;
        while(dot(now[minY % cnt + 1] - now[minY] , now[maxX % cnt + 1] - now[maxX]) > -eps)
            maxX = maxX % cnt + 1;
        ld t = calS(now[minY] , now[minY % cnt + 1] , now[maxX] , now[maxY] , now[minX]);
        if(t < ans){
            ans = t;
            squ[0] = (now[minY % cnt + 1] - now[minY]) * (dot(now[minY] - now[maxX] , now[minY] - now[minY % cnt + 1]) / len(now[minY] - now[minY % cnt + 1]) / len(now[minY] - now[minY % cnt + 1])) + now[minY];
            squ[1] = rev(now[minY % cnt + 1] - now[minY]) * (calS(now[minY] , now[minY % cnt + 1] , now[maxY]) / len(now[minY] - now[minY % cnt + 1]) / len(now[minY] - now[minY % cnt + 1])) + squ[0];
            squ[2] = (now[minY] - now[minY % cnt + 1]) * (t / len(squ[1] - squ[0]) / len(now[minY % cnt + 1] - now[minY])) + squ[1];
            squ[3] = squ[2] + (squ[0] - squ[1]);
        }
    }
}

void output(){
    cout << fixed << setprecision(5) << (ans < 1e-5 ? 0 : ans) << endl;
    int dir = 0;
    for(int j = 1 ; j < 4 ; ++j)
        if(squ[dir].y > squ[j].y || cmp(squ[dir].y , squ[j].y) && squ[j].x < squ[dir].x)
            dir = j;
    for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i)
        cout << fixed << setprecision(5) << (squ[(dir + i) % 4].x < 1e-5 ? 0 : squ[(dir + i) % 4].x) << ‘ ‘ << (squ[(dir + i) % 4].y < 1e-5 ? 0 : squ[(dir + i) % 4].y) << endl;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in" , "r" , stdin);
    //freopen("out" , "w" , stdout);
#endif
    input();
    init();
    work();
    output();
    return 0;
}
 

BZOJ1185 HNOI2007 最小矩形覆蓋 凸包、旋轉卡殼