Link-Cut-tree 動態樹解決樹上問題的一種資料結構，沒學過樹鏈剖分的建議先學一下樹鏈剖分。

你們先假裝會了樹鏈剖分 QwQ。

樹鏈剖分是對樹進行輕重鏈剖分，重鏈的條數不超過logn條，用線段樹維護鏈上資訊。
樹鏈剖分可支援的操作有：

 鏈上求和
 鏈上求最值 
 鏈上修改

但是對於 斷開樹上的一條邊 或 連線兩個點，保證連線後仍然是一棵樹

由於樹是動態的，重建需要重新標號，複雜度略高~

所以就有了動態樹這種東西，我們把靜態的線段樹替換成Splay

於是就有了 LCT=樹鏈剖分+Splay

這裡引用一下網上的一些概念

“Preferred Child：重兒子(為了便於理解這裡沿用樹鏈剖分中的命名)，重兒子與父親節點同在一棵Splay中，一個節點最多隻能有一個重兒子

Preferred Edge：重邊，連線父親節點和重兒子的邊

Preferred Path：重鏈，由重邊及重邊連線的節點構成的鏈
”

有點像樹鏈剖分。

由一條鏈上的所有的點組成的Splay稱作這條鏈的輔助樹，鍵值為節點深度，所以整個Splay的中序遍歷就是整個序列。

輔助樹的根節點指向鏈頂的父親，注意輔助樹的根節點≠原樹的根節點。

由於需要維護的資訊在輔助樹裡存在，所以只需維護輔助樹就行了

程式碼實現（解釋）

inline bool isroot(int x)
{
    return tree[fa[x]][0]!=x&&tree[fa[x]][1]!=x;
} 
inline
 
 void pushup(int x)
{
    sz[x]=sz[tree[x][0]]+sz[tree[x][1]]+1;
}

Access 函式，這是LCT 所有操作的基礎，它的作用是把當前節點與原先的重兒子切斷，然後把這個點到根上的路徑全變成重邊形成一顆Splay

void access(int x)
{
    int t=0;
    while(x)
    {
        splay(x);
        tree[x][1]=t;
        t=x;x=fa[x];
    }
}

reverse 函式 將一個點設為原樹的根，Access(x)之後x只是輔助樹的總根，並不是原樹的根，因為Access(x)之後x還有左子樹，左子樹的深度小於x，故x不是根節點

x設為根時，從x到跟所有點的深度全被反轉。
於是Access+Splay 之後直接翻轉就行了

void reverse(int x)
{
    access(x);splay(x),rev[x]^=1;
}

find 函式，判斷連通性的函式（比較腦殘就不說了）

int find(int x)
{
    access(x);splay(x);
    int y=x;
    while(tree[y][0]) y=tree[y][0];
    return y;
}

Link Cut 函式 這裡說一下Cut函式，本人開始還沒有理解，看完網上的證明發現真是巧妙。

“直接將x進行Move_To_Root操作，然後將y進行Access+Splay，之後x一定在y的左兒子上，直接切斷即可
證明：反證法
假設y進行Access+Splay操作時通過雙旋將x旋轉到y的左兒子的左兒子 那麼x和y之間一定有一個節點 故xy之間深度之差不為1 與已知xy之間有連邊相矛盾”

void link(int x,int y)
{
    reverse(x);fa[x]=y;splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
    reverse(x);access(y);splay(y);tree[y][0]=fa[x]=0;
}

補上一道裸題，bzoj 2002 彈飛綿羊 用LCT維護size大小即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=201000;
int n,m,x,y,op,sz[maxn],next[maxn],fa[maxn],tree[maxn][2],s[maxn];
bool rev[maxn];
inline bool isroot(int x)
{
    return tree[fa[x]][0]!=x&&tree[fa[x]][1]!=x;
} 
inline void pushup(int x)
{
    sz[x]=sz[tree[x][0]]+sz[tree[x][1]]+1;
}
inline void pushdown(int x)
{
    if(rev[x])
    {
        rev[x]^=1;rev[tree[x][0]]^=1;rev[tree[x][1]]^=1;
        swap(tree[x][0],tree[x][1]);
    }
}
void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],l=tree[y][1]==x,r=l^1;
    if(!isroot(y)) tree[z][tree[z][1]==y] = x;
    fa[x]=z;fa[y]=x;fa[tree[x][r]]=y;
    tree[y][l]=tree[x][r];tree[x][r]=y;
    pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x)
{
    int top=0;s[++top]=x;
    for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
    {
        s[++top]=fa[i];
    }
    for(int i=top;i;i--) pushdown(s[i]);
    while(!isroot(x))
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(!isroot(y)) 
        {
            if(tree[y][0]==x^tree[z][0]==y) rotate(y);else rotate(x);
        }
        rotate(x);
    }
}
void access(int x)
{
    int t=0;
    while(x)
    {
        splay(x);
        tree[x][1]=t;
        t=x;x=fa[x];
    }
}
void rever(int x)
{
    access(x);splay(x),rev[x]^=1;
}
void link(int x,int y)
{
    rever(x);fa[x]=y;splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
    rever(x);access(y);splay(y);tree[y][0]=fa[x]=0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x); 
        fa[i]=x+i; sz[i]=1;
        if (fa[i]>n+1) fa[i]=n+1;
        next[i]=fa[i];
    }
    sz[n+1]=1;
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&op);
        if (op==1)
        {
            rever(n+1);
            scanf("%d",&x); x++;
            access(x); splay(x); printf("%d\n",sz[tree[x][0]]);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d",&x,&y); x++;
            int t=min(n+1,x+y);
            cut(x,next[x]); link(x,t); next[x]=t;
        }
    }
    return