快速冪取模演算法

在網站上一直沒有找到有關於快速冪演算法的一個詳細的描述和解釋，這裡，我給出快速冪演算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多~

所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(餘)。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法。[有讀者反映在講快速冪部分時有點含糊，所以在這裡對本文進行了修改，作了更詳細的補充，爭取讓更多的讀者一目瞭然]

我們先從簡單的例子入手：求= 幾。

演算法1.首先直接地來設計這個演算法：

int ans = 1;

for(int

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中，為O（b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。

那麼，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：

.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這裡為了方便大家的閱讀，還是給出證明：

引理1：

上面公式為下面公式的引理，即積的取餘等於取餘的積的取餘。

證明了以上的公式以後，我們可以先讓a關於c取餘，這樣可以大大減少a的大小，

於是不用思考的進行了改進：

演算法2：

int ans = 1;

a = a % c; //加上這一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。

演算法3：

int ans = 1;

a = a % c; //加上這一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = (ans * a) % c;//這裡再取了一次餘

}

ans = ans % c;

這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的

快速冪演算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。

有了上述兩個公式後，我們可以得出以下的結論：

1.如果b是偶數，我們可以記k = a2 mod c，那麼求(k)b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇數，我們也可以記k = a2 mod c，那麼求

((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

那麼我們可以得到以下演算法：

演算法4：

int ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

我們可以看到，我們把時間複雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過

ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。

形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。

演算法5：快速冪演算法

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

if(b % 2 == 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

將上述的程式碼結構化，也就是寫成函式：

int PowerMod(int a, int b, int c)

{

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

return ans;

}

本演算法的時間複雜度為O（logb），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一。

以下內容僅供參考：

擴充套件：有關於快速冪的演算法的推導，還可以從另一個角度來想。

=？ 求解這個問題，我們也可以從進位制轉換來考慮：

將10進位制的b轉化成2進位制的表示式：

那麼，實際上，.

所以

注意此處的要麼為0，要麼為1，如果某一項，那麼這一項就是1，這個對應了上面演算法過程中b是偶數的情況，為1對應了b是奇數的情況[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯絡10進位制轉2進位制的方法]，我們從依次乘到。對於每一項的計算，計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言，為時ans不用把它乘起來，[因為這一項值為1]，為1項時要乘以此項再取餘。這個演算法和上面的演算法在本質上是一樣的，讀者可以自行分析，這裡我說不多說了，希望本文有助於讀者掌握快速冪演算法的知識點，當然，要真正的掌握，不多練習是不行的。

By  夜せ︱深